Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
C=(x, y) mid 16 x^2+64 x+y^2-4 y+68=0.

Passo 1

A gente tem a curva C=(x,y)mid 16x^2+64x+y^2-4y+68=0. O objetivo é identificar que tipo de subconjunto é (circulo, elipse etc.) e, se for elipse, achar centro, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, agrupo os termos em x e y para preparar o completamento de quadrado:
16l(x^2+4xr) ;+ l(y^2-4yr) ;+ 68 = 0

Passo 3

Agora eu completo o quadrado em cada parte:
x^2+4x = (x+2)^2 - 4
y^2-4y = (y-2)^2 - 4

Passo 4

Substituindo de volta na equação e simplificando os constantes:
16l((x+2)^2 -4r) + l((y-2)^2 -4r) +68 = 0
O que dá
16(x+2)^2 -64 + (y-2)^2 -4 +68 = 0
Logo
16(x+2)^2 + (y-2)^2 = 0

Passo 5

Como soma de quadrados não-negativos só pode ser zero se cada termo for zero, temos x+2=0 e y-2=0. Assim x=-2, y=2. Ou seja, C não é uma elipse “cheia”, e sim o ponto único (-2,2), isto é, uma elipse degenerada.

Passo 6

Interpretando: o centro da elipse degenerada é o próprio ponto (-2,2). Como não há extensão em nenhuma direção, os vértices e os focos coincidem com o centro.

Resposta

O conjunto C é o ponto único (-2,2), isto é, uma elipse degenerada cujo centro, vértices e focos coincidem em (-2,2).

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