Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
.
Passo 1
A gente tem a curva
. O objetivo é identificar que tipo de subconjunto é (circulo, elipse etc.) e, se for elipse, achar centro, vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, agrupo os termos em
e
para preparar o completamento de quadrado:
Passo 3
Agora eu completo o quadrado em cada parte:
Passo 4
Substituindo de volta na equação e simplificando os constantes:
O que dá
Logo
Passo 5
Como soma de quadrados não-negativos só pode ser zero se cada termo for zero, temos
e
. Assim
,
. Ou seja,
não é uma elipse “cheia”, e sim o ponto único
, isto é, uma elipse degenerada.
Passo 6
Interpretando: o centro da elipse degenerada é o próprio ponto
. Como não há extensão em nenhuma direção, os vértices e os focos coincidem com o centro.
Resposta
O conjunto
é o ponto único (-2,2), isto é, uma elipse degenerada cujo centro, vértices e focos coincidem em (-2,2).