Enunciado

(i) Use um recurso computacional para fazer o gráfico daequação no primeiro quadrante. [Nota: Para isso, resolva a equação para y em termos de x.]

(ii) Use a simetria para fazer um esboço à mão de todo o gráfico.

(iii) Confirme o que foi feito gerando o gráfico da equação nos demais quadrantes.

4 x 2 + 16 y 2 = 1 6

Passo 1

(i) Então, primeiro, vamos isolar o y , como foi pedido na nota do enunciado:

4 x 2 + 16 y 2 = 16

16 y 2 = 1 6 - 4 x 2

Passando o 16 dividindo:

y 2 = 16 - 4 x 2 16

Tirando a raiz:

y = ± 16 - 4 x 2 16

Obs.: lembre-se de que, ao tirar uma raiz quadrada, aceitamos valores positivos e negativos como resposta!

Plotando esse gráfico no primeiro quadrante:

Passo 2

(ii) Esse passo é complicado pra mim, pois não vou conseguir te mostrar um esboço feito à mão por mim :’(. Mas posso te falar como usar a simetria para você fazer esse esboço!

A equação original que temos é:

4 x 2 + 16 y 2 = 16

Então, repare que temos tanto y quando x elevados ao quadrado. Dessa forma, o sinal que damos a eles não importa, pois - y 2 = y 2 e - x 2 = x 2 (qualquer número ao quadrado fica positivo). Com isso, ao fazer substituições do tipo y → - y ou x → - x encontraremos a mesma equação:

4 x 2 + 16 y 2 = 16

O que isso significa? Que temos simetria em relação a y , a x e à origem também!! Logo, o que aconteceu no primeiro quadrante (no passo anterior) deve acontecer em todos os quadrantes, por simetria.

Dessa forma, para esboçar o gráfico todo, é só sair espelhando o primeiro quadrante em relação aos dois eixos x e y e em relação à origem:

O gráfico fica assim!

Resposta

Desenvolvimento no passo a passo.

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