Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos (-2,4) e (6,4), eixo menor de comprimento 8 .

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar a equação reduzida de uma elipse cujo foco está em (-2,4) e (6,4), com eixo menor de comprimento 8. Para isso, vamos usar os conceitos de centro da elipse, semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e distância focal c, sabendo que c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Calculamos o centro da elipse como o ponto médio entre os focos. Usando a fórmula do ponto médio, temos: (h,k) = l(tfrac-2+62,tfrac4+42r) = (2,4).
A distância focal c é metade da distância entre os focos. Como os focos estão em (2-4,4) e (2+4,4), obtemos c = 4. O semi-eixo menor é b = tfrac82 = 4.

Passo 3

Para encontrar o semi-eixo maior a, usamos a relação c^2 = a^2 - b^2. Portanto,
a^2 = c^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Passo 4

Como o eixo maior é horizontal (mesma direção dos focos), a equação reduzida fica na forma
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
onde (h,k)=(2,4), a^2=32 e b^2=16. Substituindo, chegamos à equação final.

Resposta

(x-2)^232 + (y-4)^216 = 1