O Sputnik, primeiro satélite lançado da Terra em 1957, descrevia uma órbita elíptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equação da sua órbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
altitude foi de 840 km , a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra é de 570 km .

Passo 1

O enunciado fala de uma órbita elíptica com a Terra num dos focos. Precisamos usar geometria analítica de cônicas: em particular que, numa elipse, a soma das distâncias a partir de qualquer ponto até os dois focos é constante e igual a 2a (a semi-eixo maior).

Passo 2

Calcular as distâncias do satélite ao centro da Terra no perigeu e no apogeu. Como o raio da Terra é 570 km, a menor distância é
rmin=570+189=759
\ne a maior distância é
rmax=570+840=1410

Passo 3

Usar a propriedade da elipse: em qualquer ponto, distância ao foco 1 + distância ao foco 2 = 2a. No perigeu e apogeu os pontos estão sobre o eixo maior, de modo que
rmax+rmin=2a
Logo
2a=1410+759=2169
a=1084.5

Passo 4

Determinar c, a distância do centro da elipse a cada foco. Sabemos que no apogeu a distância ao foco 1 (0,0) é r_{max}=h+a e no perigeu é r_{min}=a-h, onde h é a abscissa do centro. Assim:
h+a=1410
a-h=759
Somando dá 2a=2169 (ok) e subtraindo dá 2h=651, ou seja
h=325.5
Então c=h=325.5.

Passo 5

Calcular b usando b2=a2-c^2. Como
a^2=(1084.5)^2, c^2=(325.5)^2,
usa-se a fatoração (a2-c2)=(a-c)(a+c)=759\cdot1410=1070190. Logo
b^2=1070190

Passo 6

Montar a equação da elipse em coordenadas cartesianas, com centro em (h,0)=(325.5,0):
(x-325.5)^2(1084.5)^2+y^21070190=1

Resposta

\frac{(x-325.5)2}{(1084.5)2}+\frac{y^2}{1070190}=1

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