O Sputnik, primeiro satélite lançado da Terra em 1957, descrevia uma órbita elíptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equação da sua órbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
altitude foi de 840 km , a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra é de 570 km .
altitude foi de 840 km , a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra é de 570 km .
Passo 1
O enunciado fala de uma órbita elíptica com a Terra num dos focos. Precisamos usar geometria analítica de cônicas: em particular que, numa elipse, a soma das distâncias a partir de qualquer ponto até os dois focos é constante e igual a 2a (a semi-eixo maior).
Passo 2
Calcular as distâncias do satélite ao centro da Terra no perigeu e no apogeu. Como o raio da Terra é 570 km, a menor distância é
$$
r_{min}=570+189=759$$\ne a maior distância é
$$
r_{max}=570+840=1410$$
Passo 3
Usar a propriedade da elipse: em qualquer ponto, distância ao foco 1 + distância ao foco 2 = 2a. No perigeu e apogeu os pontos estão sobre o eixo maior, de modo que
$$
r_{max}+r_{min}=2a
2a=1410+759=2169
$$
Passo 4
Determinar c, a distância do centro da elipse a cada foco. Sabemos que no apogeu a distância ao foco 1 (0,0) é r_{max}=h+a e no perigeu é r_{min}=a-h, onde h é a abscissa do centro. Assim:
$$
h+a=1410$$
$$
a-h=759
h=325.5
$$
Então c=h=325.5.
Então c=h=325.5.
Passo 5
Calcular b usando b2=a2-c^2. Como
$$
a2=(1084.5)2,\quad c2=(325.5)2,
b^2=1070190
$$
Passo 6
Montar a equação da elipse em coordenadas cartesianas, com centro em (h,0)=(325.5,0):
Resposta
\frac{(x-325.5)2}{(1084.5)2}+\frac{y^2}{1070190}=1