Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
e
.
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse cujos extremos do eixo maior são (3,1) e (9,1) e os do eixo menor são (6, -1) e (6,3). Isso envolve geometria analítica de cônicas: precisamos encontrar o centro, os comprimentos dos semi-eixos e a orientação, e então escrever a equação padrão.
Passo 2
O centro da elipse é o ponto médio dos extremos de qualquer eixo. Para o eixo maior, o ponto médio entre (3,1) e (9,1) é
. Para o eixo menor, o ponto médio entre (6,-1) e (6,3) também é (6,1), confirmando o centro
.
Os semi-intervalos são as distâncias do centro aos extremos: do centro (6,1) até (3,1) mede , então
. Do centro até (6,3) mede
, então
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Os semi-intervalos são as distâncias do centro aos extremos: do centro (6,1) até (3,1) mede
Passo 3
Para elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados e centro
, a forma reduzida é
Substituindo
,
,
e
, obtemos a equação reduzida da elipse desejada.