Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente, (3,1),(9,1) e (6,-1),(6,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse cujos extremos do eixo maior são (3,1) e (9,1) e os do eixo menor são (6, -1) e (6,3). Isso envolve geometria analítica de cônicas: precisamos encontrar o centro, os comprimentos dos semi-eixos e a orientação, e então escrever a equação padrão.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos extremos de qualquer eixo. Para o eixo maior, o ponto médio entre (3,1) e (9,1) é l((3+9)/2,, (1+1)/2r) = (6,1). Para o eixo menor, o ponto médio entre (6,-1) e (6,3) também é (6,1), confirmando o centro (h,k)=(6,1).
Os semi-intervalos são as distâncias do centro aos extremos: do centro (6,1) até (3,1) mede |6-3|=3, então a=3. Do centro até (6,3) mede |3-1|=2, então b=2. Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 3

Para elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados e centro (h,k), a forma reduzida é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Substituindo h=6, k=1, a=3 e b=2, obtemos a equação reduzida da elipse desejada.

Resposta

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