Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos (4,-2) e (4,6), eixo menor de comprimento 8.

Passo 1

O enunciado quer a forma reduzida da elipse que tem focos em (4,−2) e (4,6) e cujo eixo menor mede 8. Isso cai em Seções Cônicas: Elipse, e vamos precisar achar o centro, c (distância focal), b (semi-eixo menor) e depois calcular a (semi-eixo maior).

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio entre os focos. Para os focos (4,−2) e (4,6), temos centro C = ((4+4)/2, (−2+6)/2) = (4,2).
A distância entre os focos vale 8, logo 2c = 8 e c = 4.
O comprimento do eixo menor é 8, logo 2b = 8 e b = 4.

Passo 3

Na elipse vale a relação
a^2 = b^2 + c^2
pois a ≥ b e c^2 = a^2 - b^2. Substituindo, b^2 = 16 e c^2 = 16, logo a^2 = 16 + 16 = 32.

Passo 4

Como os focos ficam numa reta vertical (x=4), o eixo maior é vertical. A forma reduzida é
(x-4)^2b^2 + (y-2)^2a^2 = 1
com b^2=16 e a^2=32.
Substituindo os valores finais na equação, obtemos
(x-4)^216 + (y-2)^232 = 1

Resposta

(x-4)^216 + (y-2)^232 = 1

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