Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos
e
, eixo menor de comprimento 8.
Focos
Passo 1
O enunciado quer a forma reduzida da elipse que tem focos em (4,−2) e (4,6) e cujo eixo menor mede 8. Isso cai em Seções Cônicas: Elipse, e vamos precisar achar o centro, c (distância focal), b (semi-eixo menor) e depois calcular a (semi-eixo maior).
Passo 2
O centro da elipse é o ponto médio entre os focos. Para os focos (4,−2) e (4,6), temos centro C = ((4+4)/2, (−2+6)/2) = (4,2).
A distância entre os focos vale 8, logo 2c = 8 e c = 4.
O comprimento do eixo menor é 8, logo 2b = 8 e b = 4.
A distância entre os focos vale 8, logo 2c = 8 e c = 4.
O comprimento do eixo menor é 8, logo 2b = 8 e b = 4.
Passo 3
Na elipse vale a relação
pois a ≥ b e c^2 = a^2 - b^2. Substituindo, b^2 = 16 e c^2 = 16, logo a^2 = 16 + 16 = 32.
Passo 4
Como os focos ficam numa reta vertical (x=4), o eixo maior é vertical. A forma reduzida é
com b^2=16 e a^2=32.
Substituindo os valores finais na equação, obtemos
Substituindo os valores finais na equação, obtemos