Sejam E=(a, b) mid(a, b) é ponto interior à elipse 4 x^2+9 y^2=36 e E^prime=(a, b) mid(a, b) é ponto exterior à elipse 9 x^2+y^2=9. Dados os pontos A1=(2,-12), A2=(-1,2), A3=(-32,-12), A4=(-2,3), A5=(12,-32), A6=(23,-23), A7=(4 raiz23, 3 raiz2) e A8=(-56,-76) determine:
(a) Quais pertencem a E.
(b) Quais pertencem a E^prime.
(c) Quais pertencem a E cup E^prime.
(d) Quais pertencem a E cap E^prime.

Passo 1

O exercício pede pra gente classificar oito pontos em relação a duas regiões definidas por elipses: a região interior à elipse 4x²+9y²=36 (que chamamos de 𝓔) e a região exterior à elipse 9x²+y²=9 (que chamamos de 𝓔′). No fim a gente lista quem está em 𝓔, em 𝓔′, na união e na interseção.

Passo 2

Pra saber se (a,b) pertence a 𝓔, usamos a condição de interior da elipse: é preciso que
4a² + 9b² < 36.
E para pertencer a 𝓔′ (exterior da outra elipse), precisamos de
9a² + b² > 9.

Passo 3

Calculando para cada ponto o valor S = 4a² + 9b² e comparando com 36:
• A₁=(2,−½): S=4·2²+9·(−½)²=16+2,25=18,25<36 ⇒ A₁∈𝓔
• A₂=(−1,2): S=4·1+9·4=4+36=40>36 ⇒ A₂∉𝓔
• A₃=(−3/2,−½): S=4·(3/2)²+9·(½)²=9+2,25=11,25<36 ⇒ A₃∈𝓔
• A₄=(−2,3): S=4·4+9·9=16+81=97>36 ⇒ A₄∉𝓔
• A₅=(½,−3/2): S=4·(½)²+9·(3/2)²=1+20,25=21,25<36 ⇒ A₅∈𝓔
• A₆=(2/3,−2/3): S=4·(2/3)²+9·(2/3)²≈5,78<36 ⇒ A₆∈𝓔
• A₇=(4√2/3,3√2): S=4·(4√2/3)²+9·(3√2)²≈176,22>36 ⇒ A₇∉𝓔
• A₈=(−5/6,−7/6): S=4·(5/6)²+9·(7/6)²≈15,03<36 ⇒ A₈∈𝓔
Logo, 𝓔 = {A₁, A₃, A₅, A₆, A₈}.

Passo 4

Agora calculamos T = 9a² + b² e comparamos com 9 para ver quem está em 𝓔′:
• A₁: T=9·2²+(−½)²=36+0,25=36,25>9 ⇒ A₁∈𝓔′
• A₂: T=9·1+2²=9+4=13>9 ⇒ A₂∈𝓔′
• A₃: T=9·(3/2)²+(−½)²=20,25+0,25=20,5>9 ⇒ A₃∈𝓔′
• A₄: T=9·4+3²=36+9=45>9 ⇒ A₄∈𝓔′
• A₅: T=9·(½)²+(−3/2)²=2,25+2,25=4,5<9 ⇒ A₅∉𝓔′
• A₆: T=9·(2/3)²+(−2/3)²=4+0,44≈4,44<9 ⇒ A₆∉𝓔′
• A₇: T=9·(4√2/3)²+(3√2)²=32+18=50>9 ⇒ A₇∈𝓔′
• A₈: T=9·(5/6)²+(−7/6)²=6,25+1,36≈7,61<9 ⇒ A₈∉𝓔′
Portanto, 𝓔′ = {A₁, A₂, A₃, A₄, A₇}.

Passo 5

A união 𝓔 ∪ 𝓔′ são todos os pontos que estão em pelo menos uma das duas: juntando os dois conjuntos acima dá {A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇,A₈}. A interseção 𝓔 ∩ 𝓔′ são os que estão em ambas, ou seja {A₁, A₃}.

Resposta

(a) {A₁, A₃, A₅, A₆, A₈}
(b) {A₁, A₂, A₃, A₄, A₇}
(c) {A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, A₈}
(d) {A₁, A₃}

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