Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( -1,1 ), uma assíntota paralela a y=34 x e (-1, 72) um foco.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole com centro em (-1,1), foco em (-1,7/2) e que tenha como uma das assíntotas uma reta de declive 3/4 (paralela a y=3/4x). O conteúdo envolve a forma reduzida de hipérboles, a relação entre a, b e c (c²=a²+b²) e a fórmula das assíntotas.

Passo 2

Como o foco está em (-1,7/2) e o centro é (-1,1), a distância focal é puramente vertical (mesmo x). Isso indica que o eixo transverso é vertical, logo usamos a forma
(y-1)^2a^2-(x+1)^2b^2=1

Passo 3

Para uma hipérbole com eixo vertical, as assíntotas são dadas por
y-1=pmab(x+1)
Como uma assíntota tem declive 3/4, temos
ab=34Rightarrow b=4a3

Passo 4

A distância do centro ao foco é
c=l|tfrac72-1r|=tfrac52
Na hipérbole vale
c^2=a^2+b^2
Substituindo b=4a/3,
l(tfrac52r)^2=a^2+l(tfrac4a3r)^2 = a^2+16a^29=25a^29
Então
254=25a^29Rightarrow a^2=94
E portanto
b^2=l(4a3r)^2=4

Passo 5

Substituindo a²=9/4 e b²=4 na forma reduzida da hipérbole vertical, obtemos a equação desejada.

Resposta

(y-1)^2tfrac94 - (x+1)^24 = 1

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