Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (
), uma assíntota paralela a
e
um foco.
Centro (
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole com centro em (-1,1), foco em (-1,7/2) e que tenha como uma das assíntotas uma reta de declive 3/4 (paralela a y=3/4x). O conteúdo envolve a forma reduzida de hipérboles, a relação entre a, b e c (c²=a²+b²) e a fórmula das assíntotas.
Passo 2
Como o foco está em (-1,7/2) e o centro é (-1,1), a distância focal é puramente vertical (mesmo x). Isso indica que o eixo transverso é vertical, logo usamos a forma
Passo 3
Para uma hipérbole com eixo vertical, as assíntotas são dadas por
Como uma assíntota tem declive 3/4, temos
Passo 4
A distância do centro ao foco é
Na hipérbole vale
Substituindo b=4a/3,
Então
E portanto
Passo 5
Substituindo a²=9/4 e b²=4 na forma reduzida da hipérbole vertical, obtemos a equação desejada.