Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos imaginário e real são, respectivamente,
e
e
.
Os pontos limitantes dos eixos imaginário e real são, respectivamente,
Passo 1
A questão pede a equação reduzida de uma hipérbole cujos pontos limitantes do eixo imaginário (conjugado) são (3,1) e (9,1) e do eixo real (transversal) são (6,-1) e (6,3). Vamos usar a teoria de hipérboles: centro, vértices e forma padrão.
Passo 2
O centro (h,k) da hipérbole é o ponto médio dos pontos limitantes. Calculamos
h = e k =
. Logo o centro é (6,1).
O valor de a é metade do comprimento do eixo real (transversal). Os vértices são (6,-1) e (6,3), cujo comprimento total é 4, então a = 2. O valor de b é metade do comprimento do eixo imaginário (conjugado). Os pontos são (3,1) e (9,1), cujo comprimento total é 6, logo b = 3.
h =
O valor de a é metade do comprimento do eixo real (transversal). Os vértices são (6,-1) e (6,3), cujo comprimento total é 4, então a = 2. O valor de b é metade do comprimento do eixo imaginário (conjugado). Os pontos são (3,1) e (9,1), cujo comprimento total é 6, logo b = 3.
Passo 3
Como o eixo real é vertical, a forma reduzida padrão da hipérbole é
.
Substituindo h = 6, k = 1, a = 2 e b = 3 na forma padrão, obtemos
Substituindo h = 6, k = 1, a = 2 e b = 3 na forma padrão, obtemos
.