Seja A: E F uma transformação linear de posto r entre espaços vetoriais de dimensão finita. Prove que existem bases U= u1, ldots, un subset E e V=v1, ldots, vm subset F, relativamente às quais a matriz a=[ai j] de A tem a11=cdots=ar r=1 e os demais ai j=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais com , e posto . O objetivo é encontrar bases de e de tais que a matriz de nessas bases tenha e todos os demais . Vamos usar teoria de núcleo, imagem, teorema da dimensão e extensão de bases.

Passo 2

Como , escolhemos como base de . Em seguida estendemos essa base a uma base de , obtendo .

Passo 3

Para cada i=1,dots,r, como viinIm(A), existe uiin E tal que A(ui)=vi. Se sumi=1^ralphai ui=0, aplicando A vem sumi=1^ralphai vi=0. Como v1,dots,vr são independentes, todos alphai=0, logo u1,dots,ur são independentes.

Passo 4

Pelo teorema da dimensão, . Sejam uma base de . Então é um conjunto de vetores independentes em , portanto base de .

Passo 5

Na matriz de A relativa a essas bases, para 1<= j<= r temos A(uj)=vj, então a coluna j tem 1 na posição (j,j) e zeros nas outras linhas. Para j>r, A(uj)=0, e a coluna j é o vetor zero. Assim obtém-se exatamente a11=cdots=arr=1 e todos os demais aij=0.

Resposta

Nas bases U=u1,dots,un e V=v1,dots,vm construídas, a matriz de A é
[aij]= Ir & 0 0 & 0 ,
o que significa exatamente que a11=cdots=arr=1 e todos os demais aij=0.

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