Seja uma transformação linear de posto entre espaços vetoriais de dimensão finita. Prove que existem bases e , relativamente às quais a matriz de tem e os demais .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais com , e posto . O objetivo é encontrar bases de e de tais que a matriz de nessas bases tenha e todos os demais . Vamos usar teoria de núcleo, imagem, teorema da dimensão e extensão de bases.
Passo 2
Como , escolhemos como base de . Em seguida estendemos essa base a uma base de , obtendo .
Passo 3
Para cada , como , existe tal que . Se , aplicando vem . Como são independentes, todos , logo são independentes.
Passo 4
Pelo teorema da dimensão, . Sejam uma base de . Então é um conjunto de vetores independentes em , portanto base de .
Passo 5
Na matriz de relativa a essas bases, para temos , então a coluna tem 1 na posição e zeros nas outras linhas. Para , , e a coluna é o vetor zero. Assim obtém-se exatamente e todos os demais .
Resposta
Nas bases e construídas, a matriz de é
o que significa exatamente que a11=cdots=arr=1 e todos os demais aij=0.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 8.5