Determine o lugar geométrico descrito pelos vértices dos triângulos de base A B e com C=30^circ. A medida fixada do ângulo C faz alguma diferença na sua resposta?

Passo 1

O enunciado fixa um segmento de reta AB e pede o lugar geométrico dos pontos C tais que o ângulo em C, ou seja hat C, vale 30^circ.
Conteúdo: vamos usar o teorema do ângulo inscrito em círculos, que relaciona o ângulo no contorno de um círculo com o arco correspondente.

Passo 2

Pelo teorema do ângulo inscrito, todo ponto C de um círculo que passa por A e B vê o segmento AB sob um mesmo ângulo beta, e esse ângulo satisfaz
beta = tfrac12gamma,
onde gamma é o ângulo central que subtende o mesmo arco AB. Logo, a condição hat C=30^circ significa que C deve estar sobre arcos de circunferência que passam por A e B e cujo ângulo central é gamma=2cdot30^circ=60^circ.

Passo 3

Seja c = AB. Pela relação entre comprimento de corda e raio R em função do ângulo central, temos
c = 2Rsinl(tfracgamma2r) =2Rsin(30^circ)
Como sin(30^circ)=tfrac12, segue
R = c2cdot12 = c

Passo 4

O centro O dessa circunferência deve estar sobre a mediatriz de AB. A distância do centro O ao ponto médio M de AB é
OM = raizR^2 - l(tfrac c2r)^2 = raizc^2 - tfracc^24 = raiz32,c
Existem duas opções (para cada lado da reta AB), gerando duas circunferências congruentes.

Passo 5

Portanto, o lugar geométrico de C é a união de dois arcos dessas circunferências de raio R=c, cada arco com extremos em A e B, um arco acima de AB e outro abaixo de AB. Em qualquer desses arcos o ângulo inscrito vale 30^circ.

Passo 6

Se a medida fixa do ângulo mudasse para outro valor beta, o procedimento seria o mesmo e só mudaria o raio, pois
R = AB2sin(beta)
Em particular, beta e seu suplementar 180^circ-beta dão o mesmo sin, logo a circunferência é a mesma; o que muda é se escolhemos o arco menor ou o maior. Assim, a natureza do lugar geométrico (arcos de círculo passando por A,B) não altera, apenas o valor de R.

Resposta

O lugar geométrico de C é a união de dois arcos de circunferência de raio AB, com centros sobre a mediatriz de AB a distância tfracraiz32,AB do ponto médio, tais que cada arco subtende um ângulo inscrito de 30^circ. A medida fixa do ângulo só altera o valor do raio pela fórmula R=AB/(2sinbeta), mantendo a mesma forma de lugar geométrico.

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