Determine o lugar geométrico descrito pelos vértices dos triângulos de base
e com
. A medida fixada do ângulo
faz alguma diferença na sua resposta?
Passo 1
O enunciado fixa um segmento de reta
e pede o lugar geométrico dos pontos
tais que o ângulo em
, ou seja
, vale
.
Conteúdo: vamos usar o teorema do ângulo inscrito em círculos, que relaciona o ângulo no contorno de um círculo com o arco correspondente.
Conteúdo: vamos usar o teorema do ângulo inscrito em círculos, que relaciona o ângulo no contorno de um círculo com o arco correspondente.
Passo 2
Pelo teorema do ângulo inscrito, todo ponto
de um círculo que passa por
e
vê o segmento
sob um mesmo ângulo
, e esse ângulo satisfaz
onde
é o ângulo central que subtende o mesmo arco
. Logo, a condição
significa que
deve estar sobre arcos de circunferência que passam por
e
e cujo ângulo central é
.
Passo 3
Seja
. Pela relação entre comprimento de corda e raio
em função do ângulo central, temos
Como
, segue
Passo 4
O centro
dessa circunferência deve estar sobre a mediatriz de
. A distância do centro
ao ponto médio
de
é
Existem duas opções (para cada lado da reta
), gerando duas circunferências congruentes.
Passo 5
Portanto, o lugar geométrico de
é a união de dois arcos dessas circunferências de raio
, cada arco com extremos em
e
, um arco acima de
e outro abaixo de
. Em qualquer desses arcos o ângulo inscrito vale
.
Passo 6
Se a medida fixa do ângulo mudasse para outro valor
, o procedimento seria o mesmo e só mudaria o raio, pois
Em particular,
e seu suplementar
dão o mesmo
, logo a circunferência é a mesma; o que muda é se escolhemos o arco menor ou o maior. Assim, a natureza do lugar geométrico (arcos de círculo passando por
) não altera, apenas o valor de
.
Resposta
O lugar geométrico de
é a união de dois arcos de circunferência de raio
, com centros sobre a mediatriz de
a distância
do ponto médio, tais que cada arco subtende um ângulo inscrito de
. A medida fixa do ângulo só altera o valor do raio pela fórmula
, mantendo a mesma forma de lugar geométrico.