Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(17 \ln \left[(5 x-7)^{4}(2 x+3)^{3}\right])

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=17\ln\bigl[(5x-7)^4\,(2x+3)^3\bigr].
O conteúdo envolvido é derivação de logaritmo e regra da cadeia. Vamos usar as propriedades \ln(ab)=\ln a+\ln b, \ln(a^n)=n\ln a e a fórmula \displaystyle\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}.

Passo 2

Aplicando as propriedades do logaritmo dentro de f(x), temos
f(x)=17\Bigl[\ln\bigl((5x-7)^4\bigr)+\ln\bigl((2x+3)^3\bigr)\Bigr] =17\bigl[4\ln(5x-7)+3\ln(2x+3)\bigr].

Passo 3

Distribuindo o 17 e separando os termos,
f(x)=68\ln(5x-7)+51\ln(2x+3).
Para derivar usamos \frac{d}{dx}\ln(5x-7)=\frac{5}{5x-7}
e \frac{d}{dx}\ln(2x+3)=\frac{2}{2x+3}.

Passo 4

Logo, juntando os coeficientes,
f'(x) =68\cdot\frac{5}{5x-7}+51\cdot\frac{2}{2x+3} =\frac{340}{5x-7}+\frac{102}{2x+3}.

Resposta

f'(x)=\frac{340}{5x-7}+\frac{102}{2x+3}.

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