Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(5 \ln |3-2 x|)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 5 \ln\bigl|3 - 2x\bigr|.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada à função logaritmo natural. Vamos usar que
\frac{d}{dx}\ln\lvert u(x)\rvert = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 2

Identificamos a função interna
u(x) = 3 - 2x,
de modo que
f(x) = 5 \ln\lvert u(x)\rvert.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}(3 - 2x) = -2.
Em seguida, aplicamos a fórmula do passo anterior:
\frac{d}{dx}\ln\lvert u(x)\rvert = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{-2}{3 - 2x}.

Passo 4

Como f(x)=5\ln\lvert u(x)\rvert, pela regra do produto constante,
f'(x) = 5 \cdot \frac{-2}{3 - 2x} = -\frac{10}{3 - 2x}.

Resposta

f'(x) = -\frac{10}{3 - 2x}.

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