Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(15 \frac{1}{\ln x}+\ln \frac{1}{x})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\frac{15}{\ln x}+\ln\frac{1}{x}.
O conteúdo envolve derivada de logaritmo, regra da cadeia e soma de funções.

Passo 2

Observe que
\ln\frac{1}{x}=-\ln x,
logo podemos reescrever
f(x)=15\bigl(\ln x\bigr)^{-1}-\ln x.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo 15(\ln x)^{-1}. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)^{-1} =-1\bigl(\ln x\bigr)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =-\frac{1}{x(\ln x)^2}.
Multiplicando por 15, obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl[\,15(\ln x)^{-1}\Bigr] =-\frac{15}{x(\ln x)^2}.

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo -\ln x. Como \frac{d}{dx}(\ln x)=1/x, segue que
\frac{d}{dx}[-\ln x] =-\frac{1}{x}.

Passo 5

Somando as duas derivadas, temos
f'(x) =-\frac{15}{x(\ln x)^2}-\frac{1}{x} =-\frac{15/(\ln x)^2+1}{x} =-\frac{15+(\ln x)^2}{x(\ln x)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{15}{x(\ln x)^2}-\frac{1}{x} \quad\text{(equivalentemente}\;\;-\frac{15+(\ln x)^2}{x(\ln x)^2}\text{)}.

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