Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(10 \ln \sqrt[3]{6 x+7})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=10\ln\sqrt[3]{6x+7}.
O conteúdo usado será a regra da cadeia e a propriedade logarítmica que permite passar expoentes para frente do logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a raiz cúbica em forma de potência:
\sqrt[3]{6x+7}=(6x+7)^{\frac{1}{3}},
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f(x)=10\ln\bigl((6x+7)^{\tfrac{1}{3}}\bigr).

Passo 3

Aplicando a propriedade \ln(a^b)=b\ln(a), temos
f(x)=10\cdot\frac{1}{3}\ln(6x+7)=\frac{10}{3}\ln(6x+7).

Passo 4

Agora derivamos usando \frac{d}{dx}\ln(6x+7)=\frac{6}{6x+7}. Assim,
f'(x)=\frac{10}{3}\cdot\frac{6}{6x+7}.

Passo 5

Bastâ simplificar o coeficiente:
f'(x)=\frac{60}{3(6x+7)}=\frac{20}{6x+7}.

Resposta

f'(x)=\frac{20}{6x+7}.

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