Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(18 \ln \left[\sqrt[3]{4 x-5}(3 x+8)^{2}\right])

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=18\ln\bigl[\sqrt[3]{4x-5}\,(3x+8)^{2}\bigr]
e pede f'(x). O conteúdo é derivada de função logarítmica e usaremos as propriedades
  1. \ln(ab)=\ln a+\ln b,
  2. \ln(a^{k})=k\ln a,
  3. \frac{d}{dx}\bigl[\ln u(x)\bigr]=\frac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).

Passo 2

Dentro do logaritmo, aplique as propriedades:
\ln\bigl[\sqrt[3]{4x-5}\,(3x+8)^{2}\bigr] =\ln\bigl[(4x-5)^{1/3}\bigr]+\ln\bigl[(3x+8)^{2}\bigr] =\tfrac13\ln(4x-5)+2\ln(3x+8).

Passo 3

Multiplicando por 18, obtemos
f(x)=18\Bigl(\tfrac13\ln(4x-5)+2\ln(3x+8)\Bigr) =6\ln(4x-5)+36\ln(3x+8).

Passo 4

Agora derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}[\ln(u)]=u'/u:
  • Para 6\ln(4x-5), temos u=4x-5, u'=4, logo
\frac{d}{dx}\bigl[6\ln(4x-5)\bigr] =6\cdot\frac{4}{4x-5} =\frac{24}{4x-5}.
  • Para 36\ln(3x+8), temos v=3x+8, v'=3, logo
\frac{d}{dx}\bigl[36\ln(3x+8)\bigr] =36\cdot\frac{3}{3x+8} =\frac{108}{3x+8}.

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\frac{24}{4x-5}+\frac{108}{3x+8}.

Resposta

f'(x)=\frac{24}{4x-5}+\frac{108}{3x+8}.

Exercícios de Livros Relacionados