Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
. (16 \frac{x^{2}}{\ln x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=16\,\frac{x^{2}}{\ln x},
ou seja, queremos f'(x). O conteúdo aplicado será a regra do quociente e a derivada de \ln x.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=16\cdot\frac{u(x)}{v(x)},
onde u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x. Então
u'(x)=2x, \quad v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}},
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\Bigl(\frac{x^{2}}{\ln x}\Bigr)' =\frac{(2x)(\ln x)-x^{2}\bigl(\frac{1}{x}\bigr)}{(\ln x)^{2}} =\frac{2x\ln x - x}{(\ln x)^{2}} =\frac{x\,(2\ln x -1)}{(\ln x)^{2}}.

Passo 4

Multiplicando pelo fator constante 16, obtemos
f'(x) =16\cdot\frac{x\,(2\ln x -1)}{(\ln x)^{2}} =\frac{16\,x\,(2\ln x -1)}{(\ln x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{16\,x\,(2\ln x -1)}{(\ln x)^{2}}.

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