Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(9 \ln \sqrt{7-2 x^{3}})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 9 \ln \sqrt{7 - 2x^{3}}.
Aqui vamos aplicar propriedade de logaritmo para simplificar a expressão e depois usar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência e usando \ln(a^{b})=b\ln(a), temos:
f(x) =9 \ln\bigl( (7 - 2x^{3})^{\tfrac12} \bigr) =9\cdot \tfrac12 \ln(7 - 2x^{3}) =\frac{9}{2}\,\ln(7 - 2x^{3}).

Passo 3

Agora derivamos usando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{9}{2}\,\cdot\frac{1}{7 - 2x^{3}}\cdot\frac{d}{dx}(7 - 2x^{3}) =\frac{9}{2}\,\cdot\frac{1}{7 - 2x^{3}}\cdot(-6x^{2}) =-\frac{27\,x^{2}}{7 - 2x^{3}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{27\,x^{2}}{7 - 2x^{3}}.

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