Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(21 \ln \sqrt{\frac{x{2}-1}{x{2}+1}})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=21\ln\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}.
O conteúdo principal é usar propriedades de logaritmo e a regra da cadeia para derivar uma função do tipo \ln(u(x)).

Passo 2

Primeiro usamos \ln\sqrt{A}=\tfrac12\ln A e a propriedade \ln\frac{u}{v}=\ln u-\ln v. Assim,
f(x)=21\ln\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}} =\frac{21}{2}\ln\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} =\frac{21}{2}\bigl[\ln(x^{2}-1)-\ln(x^{2}+1)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando \bigl(\ln u\bigr)'=u'/u. Logo,
f'(x) =\frac{21}{2}\Bigl[\frac{d}{dx}\ln(x^{2}-1)-\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)\Bigr] =\frac{21}{2}\Bigl[\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr].

Passo 4

Fatorando e simplificando:
f'(x) =\frac{21}{2}\cdot2x\Bigl[\frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x^{2}+1}\Bigr] =21x\frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)} =21x\frac{2}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)} =\frac{42x}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}.

Resposta

f'(x)=\frac{42x}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}.

Exercícios de Livros Relacionados