Sejam
e
definidas por
,
, onde
são vetores fixados de tal modo que
. Prove que as transformações lineares
e
são dadas por
Conclua que, em geral, se tem
. Dê um exemplo concreto desta desigualdade, com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as transformações lineares A: ℝ→E e B: E→ℝ definidas por A·1 = a e B·w = ⟨b,w⟩, com ⟨a,b⟩ ≠ 0, valem
e
O conteúdo principal é o cálculo de pseudoinversas (Moore–Penrose) de operadores de posto 1 e sua composição.
Passo 2
Para achar (BA)^+, note que BA: ℝ→ℝ é dada por
Isto é, BA é a multiplicação escalar por c = ⟨b,a⟩ ≠ 0. A pseudoinversa de um operador “multiplicação por c” em ℝ é “multiplicação por 1/c”. Logo,
Passo 3
Precisamos agora de A^+ e B^+. Como A: ℝ→E tem posto 1 e A(1)=a, sua pseudoinversa A^+: E→ℝ é a projeção mínima, dada por
De modo análogo, B: E→ℝ, B(w)=⟨b,w⟩, tem pseudoinversa B^+: ℝ→E
Passo 4
Agora compomos A^+ e B^+: para x∈ℝ,
Em particular,
Passo 5
Comparando os resultados:
em geral não coincidem. Por exemplo, em ℝ^2 escolha
Então ⟨a,b⟩=1, |a|=1, |b|=√2, de onde
mostrando (BA)^+ ≠ A+B+.
Resposta
Portanto, concluímos que em geral (BA)^+ e A+B+ são diferentes.