Sejam A: R E e B: E R definidas por A cdot 1=a, B cdot w= lang<= b, wrang<=, onde a, b in E são vetores fixados de tal modo que lang<= a, brang<= neq 0. Prove que as transformações lineares (B A)^+: R R e A^+ B^+: R R são dadas por
(B A)^+ cdot 1=1lang<= a, brang<= e (A^+ B^+) cdot 1=lang<= a, brang<=|a|^2 cdot|b|^2
Conclua que, em geral, se tem (B A)^+ neq A^+ B^+. Dê um exemplo concreto desta desigualdade, com A: R R^2 e B: R^2 R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas as transformações lineares A: ℝ→E e B: E→ℝ definidas por A·1 = a e B·w = ⟨b,w⟩, com ⟨a,b⟩ ≠ 0, valem
(BA)^+·1 = 1⟨a,b⟩,
e
(A^+B^+)·1 = ⟨a,b⟩|a|^2,|b|^2
O conteúdo principal é o cálculo de pseudoinversas (Moore–Penrose) de operadores de posto 1 e sua composição.

Passo 2

Para achar (BA)^+, note que BA: ℝ→ℝ é dada por
BA(x) = B(A(x)) = B(xa) = x,⟨b,a⟩
Isto é, BA é a multiplicação escalar por c = ⟨b,a⟩ ≠ 0. A pseudoinversa de um operador “multiplicação por c” em ℝ é “multiplicação por 1/c”. Logo,
(BA)^+(1) = 1⟨b,a⟩ = 1⟨a,b⟩

Passo 3

Precisamos agora de A^+ e B^+. Como A: ℝ→E tem posto 1 e A(1)=a, sua pseudoinversa A^+: E→ℝ é a projeção mínima, dada por
A^+(w) = ⟨a,w⟩|a|^2
De modo análogo, B: E→ℝ, B(w)=⟨b,w⟩, tem pseudoinversa B^+: ℝ→E
B^+(x) = x,b|b|^2

Passo 4

Agora compomos A^+ e B^+: para x∈ℝ,
(A^+B^+)(x) = A^+l(B^+(x)r) = A^+l(x,b|b|^2r) = ⟨a,,x,b/|b|^2⟩|a|^2 = x,⟨a,b⟩|a|^2,|b|^2
Em particular,
(A^+B^+)(1) = ⟨a,b⟩|a|^2,|b|^2

Passo 5

Comparando os resultados:
(BA)^+(1) = 1⟨a,b⟩, (A^+B^+)(1) = ⟨a,b⟩|a|^2,|b|^2,
em geral não coincidem. Por exemplo, em ℝ^2 escolha
a = (1,0), b = (1,1)
Então ⟨a,b⟩=1, |a|=1, |b|=√2, de onde
(BA)^+(1) = 1, a (A^+B^+)(1) = 11·2 = tfrac12,
mostrando (BA)^+ ≠ A+B+.

Resposta

Portanto, concluímos que em geral (BA)^+ e A+B+ são diferentes.

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