Ache a pseudo-inversa da transformação linear A: R^3 R^2, sabendo que A(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

Estamos lidando com a pseudo-inversa (Moore–Penrose) de uma transformação linear A: R^3to R^2, definida por A(x,y,z)=(x+y,,y+z). Para achar a pseudo-inversa vamos usar a fórmula canônica A^+ = A^T (A A^T)^-1.

Passo 2

Primeiro, escrevemos A na base padrão como matriz 2×3:
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Em seguida, calculamos o produto 2×2 A A^T:
A A^T = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 01 & 10 & 1 = 2 & 11 & 2

Passo 4

Agora, invertendo essa matriz 2×2:
(A A^T)^-1 = 1(2)(2) - (1)(1) 2 & -1 -1 & 2 = 132 & -1 -1 & 2

Passo 5

Finalmente, aplicamos A^+ = A^T (A A^T)^-1. Calculando 3×2:
A^+ = 1 & 01 & 10 & 1 cdot 132 & -1 -1 & 2 = 132 & -11 & 1-1 & 2

Resposta

A pseudo-inversa é a transformação A^+: R^2to R^3 dada por
A^+ = 132 & -11 & 1-1 & 2
ou, em coordenadas,
A^+(u,v)=l(tfrac2u - v3,,tfracu+v3,,tfrac-u+2v3r)

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