Determine
sabendo que
Passo 1
A questão pede para encontrar o valor de
tal que
3 vezes a permutação de elementos tomados de 4 em 4 é igual à permutação de
elementos tomados de 5 em 5. O conteúdo aqui é permutação simples, onde vamos usar a fórmula
.
3 vezes a permutação de
Passo 2
Primeiro, aplico a definição de permutação para escrever a equação em função de fatorial:
Substituindo:
Passo 3
Agora eu expando cada fatorial como produto de termos consecutivos. Lembrando que
e
. Então:
Passo 4
Como estamos lidando com permutações válidas, assumimos
, de modo que
são diferentes de zero. Podemos cancelar esse fator comum de ambos os lados, resultando em uma equação mais simples:
Passo 5
Desenvolvendo o lado direito:
Passando tudo para um lado e igualando a zero:
Passo 6
Resolvo a equação quadrática
. O discriminante é
, então
Isso dá as raízes
e
.
Passo 7
Como precisamos de
para que a permutação
faça sentido, descartamos
. Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
n = 10