Determine n sabendo que
3 cdot n A4= n-1 A5

Passo 1

A questão pede para encontrar o valor de n tal que
3 vezes a permutação de n elementos tomados de 4 em 4 é igual à permutação de n-1 elementos tomados de 5 em 5. O conteúdo aqui é permutação simples, onde vamos usar a fórmula
nAr = dfracn!(n-r)!.

Passo 2

Primeiro, aplico a definição de permutação para escrever a equação em função de fatorial:
3 cdot nA4 = n-1A5
Substituindo:
3 cdot n!(n-4)! ,=, (n-1)!((n-1)-5)! = (n-1)!(n-6)!

Passo 3

Agora eu expando cada fatorial como produto de termos consecutivos. Lembrando que
n!/(n-4)! = n(n-1)(n-2)(n-3) e (n-1)!/(n-6)! = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5). Então:
3 cdot n(n-1)(n-2)(n-3) = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

Passo 4

Como estamos lidando com permutações válidas, assumimos n>=6, de modo que (n-1)(n-2)(n-3) são diferentes de zero. Podemos cancelar esse fator comum de ambos os lados, resultando em uma equação mais simples:
3n = (n-4)(n-5)

Passo 5

Desenvolvendo o lado direito:
3n = n^2 - 9n + 20
Passando tudo para um lado e igualando a zero:
0 = n^2 - 9n + 20 - 3n
0 = n^2 - 12n + 20

Passo 6

Resolvo a equação quadrática n^2 - 12n + 20 = 0. O discriminante é
De<a = (-12)^2 - 4cdot1cdot20 = 144 - 80 = 64, então
n = 12 pm raiz642 = 12 pm 82
Isso dá as raízes n = 10 e n = 2.

Passo 7

Como precisamos de n>=6 para que a permutação n-1A5 faça sentido, descartamos n=2. Portanto, a única solução válida é n=10.

Resposta

n = 10

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