Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
S=(x, y) mid x^2+y^2-2 x+4 y-7=0.

Passo 1

Temos o conjunto S=(x,y)mid x^2+y^2-2x+4y-7=0. O assunto é equação de circunferência em coordenadas planas e vamos precisar completar quadrados para colocar na forma canônica.

Passo 2

Começamos agrupando os termos de x e y e preparando para completar quadrados:
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 7 = 0
Agora adicionamos e subtraímos as constantes necessárias dentro dos grupos de x e y:
(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 - 7 = 0

Passo 3

Reescrevendo os quadrados completos e somando as constantes remanescentes:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 12 = 0
Em seguida isolamos os quadrados de um lado para obter a forma canônica:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 12

Passo 4

A expressão obtida está na forma padrão de uma circunferência, ou seja, (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, o que garante que S é uma circunferência.

Resposta

Centro C = (1, -2) e raio r = 2raiz3.

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