26.22 Determine o termo que envolve x^2 na expansão de
(x^3+ax)^10

SOLUÇÃO

De(x^3)^10-r+1(x^-1)^r-1=x^2, obtemos 3(10-r+1)-1(r-1)=2 ou r=8.
Para o oitavo termo: n=10, r=8, n-r+2=4, r-1=7, n-r+1=3.
oitavo termo =10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 41 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7(x^3)^3(ax)^7=120 a^7 x^2

Passo 1

O enunciado pede o termo que contém x^2 na expansão de (x^3 + ax)^10. O conteúdo principal é o Teorema Binomial aplicado a potências de expressões algébricas.

Passo 2

Para usar o Teorema Binomial, escrevemos o termo geral ( Tr+1) da expansão de (x^3 + tfracax)^10 como:
Tr+1 = binom10r,(x^3)^10-r,l(tfracaxr)^r

Passo 3

Calculamos o expoente de x em Tr+1:
expoente = 3(10 - r) - r = 30 - 4r
Para termos x^2, exigimos
30 - 4r = 2 Longrightarrow 4r = 28 Longrightarrow r = 7

Passo 4

Substituímos r = 7 em Tr+1 para obter o termo desejado:
T8 = binom107 ,(x^3)^3 l(tfracaxr)^7
Como binom107 = 120, isso dá
120 ; x^9 ; a^7 ; x^-7 = 120,a^7,x^2

Resposta

120,a{7},x{2}

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