Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
x=y^2-3 y+4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a parábola dada por x=y^2-3y+4. O conteúdo envolvido é Seções Cônicas: parábola cujo eixo é horizontal. Vamos precisar completar o quadrado em y para obter a forma canônica e daí extrair vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, complete o quadrado na expressão de y:
x = y^2 - 3y + 4 = l(y^2 - 3y + tfrac94r) + 4 - tfrac94 = (y - tfrac32)^2 + l(4 - tfrac94r) = (y - tfrac32)^2 + tfrac74

Passo 3

Agora temos a forma
x = (y - tfrac32)^2 + tfrac74,
que mostra que o vértice (h,k) é l(tfrac74,tfrac32r).

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão (y - k)^2 = 4p(x - h), note que
(y - tfrac32)^2 = x - tfrac74
Logo, 4p = 1 e p = tfrac14.

Passo 5

O foco fica em (h+p,k) e a diretriz em x = h - p. Assim:
  • Foco: l(tfrac74 + tfrac14,tfrac32r) = (2,tfrac32).
  • Diretriz: x = tfrac74 - tfrac14 = tfrac64 = tfrac32

Passo 6

O eixo de simetria é a reta horizontal que passa pelo vértice e foco, ou seja,
y = tfrac32

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que a parábola abre para a direita (pois p>0), com vértice em (1,75,1,5), foco em (2,1,5), diretriz vertical x=1,5 e eixo de simetria horizontal y=1,5. Basta traçar uma curva simétrica em torno de y=1,5 que passe pelo vértice e se aproxime da direção do foco.

Passo 8

No esboço, marque:
  • V: (7/4,3/2)
  • F: (2,3/2)
  • Diretriz: linha vertical x=3/2
  • Eixo: linha horizontal y=3/2
    e desenhe a parábola abrindo para a direita.

Resposta

Vértice: (7/4,,3/2)
Foco: (2,,3/2)
Equação da diretriz: x=3/2
Eixo de simetria: y=3/2
Gráfico: parábola de eixo horizontal, vértice em (1,75;1,5), abrindo para a direita, com foco em (2;1,5) e diretriz em x=1,5.

Exercícios de Livros Relacionados