Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
x=-2 y^2+4 y-5

Passo 1

Esse enunciado pede pra encontrar o vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e desenhar o gráfico da parábola dada por x = -2 y^2 + 4y -5. O conteúdo é forma canônica de parábola horizontal e vamos precisar completar o quadrado em y.

Passo 2

A gente reescreve em forma canônica: fatoramos -2 em y: x = -2(y^2 -2y) -5. Depois completamos o quadrado no parênteses, adicionando e subtraindo 1: y^2 -2y = (y-1)^2 -1. Substituindo dá:
x = -2l((y-1)^2 -1r) -5 = -2(y-1)^2 +2 -5 = -2(y-1)^2 -3

Passo 3

Agora colocamos em forma padrão (y-k)^2 = 4p(x-h). Primeiro isolamos (y-1)^2:
x +3 = -2(y-1)^2
(y-1)^2 = -tfrac12(x+3)

Passo 4

Assim reconhecemos que h = -3, k = 1 e 4p = -tfrac12, ou seja p = -tfrac18. Como p<0, a parábola abre para a esquerda.
O vértice é (-3,1). O foco fica em l(h + p, kr) = l(-3 - tfrac18,1r) = l(-tfrac258,1r). A diretriz é x = h - p = -3 + tfrac18 = -tfrac238. O eixo de simetria é a reta y = k = 1.

Passo 5

Para desenhar, marcamos o vértice em (-3,1), o foco em -tfrac258,1, a diretriz x = -tfrac238 e traçamos a parábola simétrica em torno da reta y=1 abrindo para a esquerda. Exemplos de pontos no contorno: para y=2 e y=0, x = -5 dando os pontos (-5,2) e (-5,0).

Resposta

Vértice = (-3,1); Foco = \bigl(-\tfrac{25}{8},1\bigr); Diretriz: x = -tfrac238; Eixo de simetria: y = 1.

Exercícios de Livros Relacionados