Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
x=-y^2-4 y+7

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e esboçar o gráfico da parábola x = -y^2 - 4y + 7. Esse caso é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, pois x está em função de y. Para resolver, vamos completar o quadrado no lado direito e usar a forma canônica (y-k)^2 = -4p(x-h).

Passo 2

Começamos completando o quadrado em -y^2 -4y +7:
x = -l(y^2 +4yr) +7
Dentro do parêntese, somamos e subtraímos 2^2:
y^2 +4y = (y+2)^2 -4
Substituindo:
x = -l((y+2)^2 -4r) +7 = -(y+2)^2 +4 +7 = -(y+2)^2 +11

Passo 3

Reescrevendo na forma canônica:
-(y+2)^2 +11 = x [4pt]Longrightarrow (y+2)^2 = -(x -11)
Comparando com (y-k)^2 = -4p(x-h), identificamos h = 11, k = -2 e -4p = -1, logo p = tfrac14. A concavidade é para a esquerda por causa do sinal negativo.]

Passo 4

O vértice é o ponto (h,k), ou seja, l(11, -2r).

Passo 5

O foco fica a uma distância p do vértice, ao longo do eixo de simetria (horizontal). Como abre para a esquerda, subtraímos p de x: l(11 - tfrac14, -2r) = l(tfrac434, -2r).

Passo 6

A diretriz é a reta perpendicular ao eixo de simetria, a uma distância p do vértice para o outro lado: x = 11 + tfrac14 = tfrac454.

Passo 7

O eixo de simetria é a reta horizontal que passa pelo vértice: y = -2

Passo 8

Esboçando o gráfico: é uma parábola com vértice em (11,-2), abrindo para a esquerda, com foco em (43/4,-2) e diretriz x = 45/4. Podemos marcar esses pontos e a reta, desenhando a forma típica de “U” invertido horizontalmente.

Resposta

Vértice: (11,-2) , Foco: (tfrac434,-2) , Diretriz: x = tfrac454 , Eixo de simetria: y = -2 .

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