Esboce os subconjuntos do plano:
D=(x, y) mid y^2-2 <= x<-2 y^2+6 y+7.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto
D=(x,y)mid y^2-2 <= x < -2y^2+6y+7. O que temos aqui são duas curvas no plano definindo limites esquerdo e direito para x. Vamos precisar reconhecer cada curva e entender onde elas se intersectam para depois desenhar a região entre elas.

Passo 2

Identificamos as duas curvas:
• Curva 1 (fronteira esquerda):
x = y^2 - 2
É uma parábola que se abre para a direita, com vértice em (-2,0) e eixo paralelo ao eixo y.
• Curva 2 (fronteira direita):
x = -2y^2 + 6y + 7
É uma parábola que se abre para a esquerda. Para ver o vértice, completamos o quadrado em y:
x = -2l(y^2 - 3yr) + 7 = -2l((y-tfrac32)^2 - tfrac94r) +7 = -2(y-tfrac32)^2 + tfrac232
Logo o vértice é em (23/2,3/2).

Passo 3

Para saber onde a região existe, encontramos as interseções das parábolas resolvendo
y^2 - 2 = -2y^2 + 6y + 7
Reagrupando:
3y^2 -6y -9 = 0 Longrightarrow y^2 -2y -3 = 0 Longrightarrow (y-3)(y+1)=0
Assim y=-1 ou y=3. Substituindo em x=y^2-2 x=-1 quando y=-1 e x=7 quando y=3.

Passo 4

Entre estas alturas y=-1 e y=3, temos y^2-2 < -2y^2+6y+7, portanto o conjunto está «entre» as duas parábolas. Como a condição é
y^2-2 <= x < -2y^2+6y+7,
o limite esquerdo ( x=y^2-2) é incluído (traço sólido no esboço) e o direito ( x=-2y^2+6y+7) é excluído (traço tracejado).

Passo 5

No esboço final: para -1<y<3 desenhe a parábola x=y^2-2 com linha sólida à esquerda e a parábola x=-2y^2+6y+7 com linha tracejada à direita, e sombree a região entre elas. Nos pontos (-1,-1) e (7,3) as curvas se tocam mas o lado direito permanece aberto.

Resposta

A região no plano é o conjunto de pontos para os quais
• o limite esquerdo é a parábola x=y^2-2 (inclusa, linha sólida),
• o limite direito é a parábola x=-2y^2+6y+7 (excluída, linha tracejada),
• e y varia estritamente entre -1 e +3.

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