Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
x=y^2-2 y+1

Passo 1

A gente tem uma parábola definida por x = y^2 - 2y + 1. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, mais precisamente parábolas com eixo horizontal. Para resolver vamos completar o quadrado em y e usar a forma canônica (y - k)^2 = 4p(x - h).

Passo 2

Primeiro, complete o quadrado em y. Note que
y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2
Logo a equação fica
x = (y - 1)^2,
que equivale a
(y - 1)^2 = x

Passo 3

Comparando com (y - k)^2 = 4p(x - h), identificamos
h = 0, k = 1, 4p = 1 ,Longrightarrow, p = tfrac14

Passo 4

O vértice é o ponto (h,k) = (0,1). O foco, estando a distância p à direita do vértice, é
l(h + p, kr) = l(0 + tfrac14, 1r) = l(tfrac14,1r)

Passo 5

A diretriz é a linha vertical a uma distância p à esquerda do vértice:
x = h - p = 0 - tfrac14 = -tfrac14

Passo 6

O eixo de simetria é a reta horizontal que passa pelo vértice:
y = k = 1

Passo 7

Para esboçar o gráfico, marque o vértice em (0,1), o foco em (tfrac14,1) e a diretriz x = -tfrac14. A parábola abre para a direita, passando por pontos como (1,2) e (1,0).

Resposta

Vértice: (0,1); Foco: (\tfrac14,1); Diretriz: x = -\tfrac14; Eixo de simetria: y = 1; Gráfico: parábola com vértice em (0,1) abrindo para a direita.

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