Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
Passo 1
O enunciado pede o vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e o gráfico da parábola dada por 8x + y² – 4y – 20 = 0. Trata-se de uma parábola (seção cônica) que vamos pôr na forma padrão completando o quadrado em y.
Passo 2
Começamos isolando os termos em y e completando o quadrado: y² – 4y = (y – 2)² – 4. Substituindo na equação original: 8x + (y – 2)² – 4 – 20 = 0 ⟹ 8x + (y – 2)² – 24 = 0.
Passo 3
Isolamos para obter a forma (y – k)² = 4p(x – h):
Daí 4p = –8, logo p = –2.
Passo 4
Na forma padrão (y – k)² = 4p(x – h) com h = 3, k = 2 e p = –2 extraímos: vértice (h,k) = (3,2); foco (h + p, k) = (3 – 2, 2) = (1,2); diretriz x = h – p = 3 – (–2) = 5; eixo de simetria y = k = 2.
Passo 5
O gráfico é uma parábola com vértice em (3,2), abertura para a esquerda (pois p<0), foco em (1,2), diretriz x = 5 e eixo de simetria y = 2.
Resposta
Vértice:
. Foco:
. Diretriz:
. Eixo de simetria:
. O gráfico é uma parábola de abertura para a esquerda, com vértice em
, foco em
e diretriz
.