Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas:
8 x+y^2-4 y-20=0

Passo 1

O enunciado pede o vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e o gráfico da parábola dada por 8x + y² – 4y – 20 = 0. Trata-se de uma parábola (seção cônica) que vamos pôr na forma padrão completando o quadrado em y.

Passo 2

Começamos isolando os termos em y e completando o quadrado: y² – 4y = (y – 2)² – 4. Substituindo na equação original: 8x + (y – 2)² – 4 – 20 = 0 ⟹ 8x + (y – 2)² – 24 = 0.

Passo 3

Isolamos para obter a forma (y – k)² = 4p(x – h):
(y 2)² = 8x + 24 ²
(y 2)² = 8(x 3) ²
Daí 4p = –8, logo p = –2.

Passo 4

Na forma padrão (y – k)² = 4p(x – h) com h = 3, k = 2 e p = –2 extraímos: vértice (h,k) = (3,2); foco (h + p, k) = (3 – 2, 2) = (1,2); diretriz x = h – p = 3 – (–2) = 5; eixo de simetria y = k = 2.

Passo 5

O gráfico é uma parábola com vértice em (3,2), abertura para a esquerda (pois p<0), foco em (1,2), diretriz x = 5 e eixo de simetria y = 2.

Resposta

Vértice: (3,2). Foco: (1,2). Diretriz: x=5. Eixo de simetria: y=2. O gráfico é uma parábola de abertura para a esquerda, com vértice em (3,2), foco em (1,2) e diretriz x=5.

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