Dois lados de um paralelogramo estão em r: x-2 y=0 e s: 2 x-y=0 e um dos vértices é o ponto A(10,10). Determinar os outros vértices.

Passo 1

Resumindo: queremos um paralelogramo cujos dois lados coincidam com as retas
rcolon x-2y=0 e scolon 2x-y=0
e de que um vértice seja A=(10,10). O conteúdo usado será coordenadas, vetores diretor e a regra do paralelogramo (soma de vetores).

Passo 2

A intersecção das retas
Da primeira , logo . Assim

Passo 3

Vetores diretores de r e s:
vr=(2,1) (pois 2-2cdot1=0), vs=(1,2) (pois 2cdot1-2=0)
Tomamos o vértice em P, e sejam
Q=P+alpha,vr=(2alpha,;alpha), R=P+beta,vs=(beta,;2beta)
O quarto vértice do paralelogramo é
S=Q+R=(2alpha+beta,;alpha+2beta)

Passo 4

Como um dos vértices é A=(10,10), temos S=A. Logo
2alpha+beta=10, alpha+2beta=10
Solução: somando duas vezes a primeira com a segunda dá 5alpha+2beta=30 etc., ou resolvendo direto por substituição:
beta=10-2alpha Longrightarrow alpha+2(10-2alpha)=10 ;implies; alpha+20-4alpha=10 ;implies; -3alpha=-10 ;implies; alpha=tfrac103,
e então
beta=10-2cdottfrac103=tfrac103

Passo 5

Calculamos os outros vértices:
Q=(2alpha,;alpha)=l(tfrac203,;tfrac103r), R=(beta,;2beta)=l(tfrac103,;tfrac203r), P=(0,0)

Resposta

Os outros três vértices do paralelogramo, além de A=(10,10), são
(0,0), l(tfrac203,;tfrac103r), l(tfrac103,;tfrac203r)

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