Verificar que os pontos A(2,3), B(5,11) e C(10,25) são vértices de um mesmo triângulo e determinar as equações das retas suporte dos lados deste triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A(2,3), B(5,11) e C(10,25) são vértices de um triângulo (isto é, não estão todos colineares) e, em seguida, determinar as equações das retas suporte dos lados AB, BC e CA. Vamos usar conceitos de geometria analítica: cálculo de coeficiente angular para testar colinearidade e fórmula ponto- inclinaçãoçã para obter as retas.

Passo 2

Calculemos os coeficientes angulares de AB e de AC:
mAB=11-35-2=83, mAC=25-310-2=228=114
Como mABneq mAC, as retas AB e AC não são paralelas, logo A, B e C não são colineares e formam um triângulo.

Passo 3

Equação da reta suporte de AB. Usando ponto- inclinaçãoçã em A(2,3):
y-3=83(x-2)
Multiplicando ambos os lados por 3 e rearranjando:
3y-9=8x-16 Longrightarrow 8x-3y-7=0

Passo 4

Equação da reta suporte de BC. Coeficiente angular
mBC=25-1110-5=145.
Em B(5,11):
y-11=145(x-5)
Multiplicando por 5 e rearranjando:
5y-55=14x-70 Longrightarrow 14x-5y-15=0

Passo 5

Equação da reta suporte de CA. Coeficiente angular
mCA=3-252-10=-22-8=114.
Em C(10,25):
y-25=114(x-10)
Multiplicando por 4 e rearranjando:
4y-100=11x-110 Longrightarrow 11x-4y-10=0

Resposta

As retas suporte dos lados do triângulo ABC são:
rAB:8x-3y-7=0, rBC:14x-5y-15=0, rCA:11x-4y-10=0

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