20.16 Duas raízes de são -1 e 2 . Resolva a equação.

SOLUÇÃO

1 0 -2 -3 -2
-1 1 -1 -1 -2 0
Divida por .
A primeira equação derivada é .
1 -1 -1 -2
2 1 1 1 0
Divida por .
A segunda equação derivada é , cujas raízes são .
As quatro raízes são .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x^4-2x^2-3x-2=0. O conteúdo envolvido é o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes), divisão sintética para reduzir o grau do polinômio e, por fim, a fórmula de Bhaskara para resolver a parte quadrática.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, como -1 é raiz, o polinômio é divisível por x+1. Fazendo a divisão sintética de x^4-2x^2-3x-2 por x+1, obtemos o quociente
x^3 - x^2 - x - 2

Passo 3

Agora aplicamos de novo o Teorema do Resto com a raiz 2. Dividindo sinteticamente x^3 - x^2 - x - 2 por x-2, chegamos ao polinômio
x^2 + x + 1

Passo 4

Para resolver x^2 + x + 1 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4cdot1cdot1 = -3

Passo 5

Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
x = -1pmraiz-32 = -tfrac12 pm tfracraiz32i

Resposta

-1, 2, -tfrac12 + tfracraiz32i e -tfrac12 - tfracraiz32i

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