Fazendo uso da Regra de Sinais de Descartes,o que se pode deduzir com relação ao número de raízes positivas, negativas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a Regra de Sinais de Descartes para deduzir quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação
pode ter. A Regra de Sinais de Descartes diz que o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes de
ou menor do que ele em um número par. Para as raízes reais negativas, aplicamos a regra a
.
Passo 2
Contamos as mudanças de sinal em
. Os coeficientes, em ordem decrescente de potência, são
As mudanças de sinal são:
ou seja, 3 mudanças de sinal. Logo o número de raízes reais positivas pode ser
Passo 3
Agora aplicamos a Regra de Descartes a
:
Os coeficientes são todos negativos:
portanto não há mudanças de sinal. Assim
Passo 4
O polinômio é de grau 3, logo tem exatamente 3 raízes (contando reais e complexas, com multiplicidade). Como não há raízes negativas, as opções são:
- 3 raízes positivas e 0 complexas, ou
- 1 raiz positiva e 2 complexas (que aparecem em par conjugado).
Resposta
Número de raízes positivas: 3 ou 1
Número de raízes negativas: 0
Número de raízes complexas: 0 (se houver 3 positivas) ou 2 (se houver 1 positiva)
Número de raízes negativas: 0
Número de raízes complexas: 0 (se houver 3 positivas) ou 2 (se houver 1 positiva)