Fazendo uso da Regra de Sinais de Descartes,o que se pode deduzir com relação ao número de raízes positivas, negativas e complexas das equações abaixo?
3 x^3-x^2+2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Regra de Sinais de Descartes para deduzir quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação
3x^3-x^2+2x-1=0
pode ter. A Regra de Sinais de Descartes diz que o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes de f(x) ou menor do que ele em um número par. Para as raízes reais negativas, aplicamos a regra a f(-x).

Passo 2

Contamos as mudanças de sinal em f(x). Os coeficientes, em ordem decrescente de potência, são
3,;-1,;2,;-1
As mudanças de sinal são:
+;to;-;, -;to;+;, +;to;-,
ou seja, 3 mudanças de sinal. Logo o número de raízes reais positivas pode ser
3ou 3-2=1

Passo 3

Agora aplicamos a Regra de Descartes a f(-x):
f(-x)=3(-x)^3 - (-x)^2 + 2(-x) - 1 = -3x^3 - x^2 - 2x - 1
Os coeficientes são todos negativos:
-3,;-1,;-2,;-1,
portanto não há mudanças de sinal. Assim
número de raízes reais negativas = 0 úí

Passo 4

O polinômio é de grau 3, logo tem exatamente 3 raízes (contando reais e complexas, com multiplicidade). Como não há raízes negativas, as opções são:
  • 3 raízes positivas e 0 complexas, ou
  • 1 raiz positiva e 2 complexas (que aparecem em par conjugado).

Resposta

Número de raízes positivas: 3 ou 1
Número de raízes negativas: 0
Número de raízes complexas: 0 (se houver 3 positivas) ou 2 (se houver 1 positiva)

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