Resolva completamente as equações:
2 x^4-x^3-23 x^2+18 x+18=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver completamente a equação
2x^4 - x^3 - 23x^2 + 18x + 18 = 0
O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema das Raízes Racionais para testar possíveis raízes inteiras ou fracionárias e a divisão sintética (ou esquemática) para reduzir o grau do polinômio sucessivamente.

Passo 2

Pelos candidatos do Teorema das Raízes Racionais, testamos x=3:
2cdot3^4 - 3^3 - 23cdot3^2 + 18cdot3 + 18 =162 -27 -207 +54 +18 =0
Logo, x=3 é raiz. Fazendo divisão sintética de 2x^4-x^3-23x^2+18x+18 por (x-3), com coeficientes (2,,-1,,-23,,18,,18), obtemos o polinômio cúbico
2x^3 + 5x^2 - 8x - 6

Passo 3

No cúbico 2x^3 + 5x^2 - 8x - 6 = 0, aplicamos novamente o Teorema das Raízes Racionais e encontramos x = tfrac32. Dividindo sinteticamente por l(x-tfrac32r), reduzimos a um trinômio quadrático:
2x^3 + 5x^2 - 8x - 6 = l(x-tfrac32r)l(2x^2 + 8x + 4r)

Passo 4

Para resolver 2x^2 + 8x + 4 = 0, dividimos tudo por 2 e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x^2 + 4x + 2 = 0 Longrightarrow x = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot22 = -4 pm raiz82 = -2 pm raiz2

Resposta

As quatro soluções da equação são
x = 3, x = tfrac32, x = -2 + raiz2, x = -2 - raiz2

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