Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
x^3+3 x-14=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente use a Regra de Sinais de Descartes para determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação x^3 + 3x - 14 = 0 pode ter. Vamos revisar o conteúdo: a Regra de Descartes diz que o número de raízes positivas (contadas com multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal em f(x) ou menos que ele em um número par; e o número de raízes negativas é igual ao número de variações de sinal em f(-x) ou menos que ele em um número par.

Passo 2

Para achar o número de raízes positivas, olhamos para os coeficientes de f(x)=x^3+0x^2+3x-14. A sequência de sinais é “+, +, +, -”. Há exatamente uma variação de “+” para “-”. Logo, há exatamente uma raiz positiva.

Passo 3

Para as raízes negativas, consideramos f(-x)=(-x)^3+3(-x)-14=-x^3-3x-14. Os sinais dos coeficientes são “-, -, -”, sem nenhuma variação de sinal. Logo, não há raízes negativas.

Passo 4

Como o grau do polinômio é 3, o total de raízes (contando multiplicidades e complexas) é 3. Já que temos 1 raiz positiva e 0 negativas, as 2 raízes restantes devem ser complexas não reais (surgem em par conjugado).

Resposta

1 raiz positiva, 0 raízes negativas e 2 raízes complexas não reais.

Exercícios de Livros Relacionados