Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
x^4-3 x^2-4=0

Passo 1

A equação dada é x^4 - 3x^2 - 4 = 0. O conteúdo aqui é a Regra de Sinais de Descartes, que nos diz que o número de raízes positivas reais é igual ao número de variações de sinal em f(x) ou menor que esse número por uma quantidade par. Para as raízes negativas, aplicamos a regra a f(-x).

Passo 2

Vamos contar as variações de sinal em f(x). Temos:
f(x) = x^4 - 3x^2 - 4
Os sinais dos coeficientes (considerando apenas termos não nulos) são “+”, “-”, “-”. Há exatamente uma variação de “+” para “-”. Portanto, há exatamente uma raiz real positiva.

Passo 3

Agora aplicamos a regra a f(-x):
f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 - 4 = x^4 - 3x^2 - 4
Os sinais continuam “+”, “-”, “-”, ou seja, também há uma variação de sinal. Logo, há exatamente uma raiz real negativa.

Passo 4

Como o polinômio é de grau 4, ele tem 4 raízes no total (contando multiplicidades e complexas). Já identificamos 1 raiz positiva e 1 raiz negativa, totalizando 2 raízes reais. As outras 2 raízes devem ser complexas (em conjugado).

Resposta

1 raiz real positiva, 1 raiz real negativa e 2 raízes complexas.

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