Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
A equação dada é
. O conteúdo aqui é a Regra de Sinais de Descartes, que nos diz que o número de raízes positivas reais é igual ao número de variações de sinal em
ou menor que esse número por uma quantidade par. Para as raízes negativas, aplicamos a regra a
.
Passo 2
Vamos contar as variações de sinal em
. Temos:
Os sinais dos coeficientes (considerando apenas termos não nulos) são “+”, “-”, “-”. Há exatamente uma variação de “+” para “-”. Portanto, há exatamente uma raiz real positiva.
Passo 3
Agora aplicamos a regra a
:
Os sinais continuam “+”, “-”, “-”, ou seja, também há uma variação de sinal. Logo, há exatamente uma raiz real negativa.
Passo 4
Como o polinômio é de grau 4, ele tem 4 raízes no total (contando multiplicidades e complexas). Já identificamos 1 raiz positiva e 1 raiz negativa, totalizando 2 raízes reais. As outras 2 raízes devem ser complexas (em conjugado).
Resposta
1 raiz real positiva, 1 raiz real negativa e 2 raízes complexas.