Encontre as raízes das equações quadráticas sujeitas às condições dadas.
(2 k+2) x^2+(4-4 k) x+k-2=0 tem raízes inversas uma da outra.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação (2k+2)x^2 + (4-4k)x + (k-2) = 0, sabendo que elas são inversas uma da outra. O conteúdo envolve relações entre coeficientes e raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Para uma equação ax^2 + bx + c = 0, o produto das raízes é dado por ca. Se as raízes são inversas, então esse produto vale 1. Vamos usar essa teoria.

Passo 3

No nosso caso, a = 2k+2 e c = k-2. Impomos
k-22k+2 = 1

Passo 4

Resolvendo k-22k+2 = 1 obtemos k-2 = 2k+2, logo k = -4. Conferimos também que a = 2k+2 = -6 neq 0, então é válido.

Passo 5

Substituindo k = -4 na equação original, ela vira -6x^2 + 20x - 6 = 0. Dividindo por -2, resulta em 3x^2 - 10x + 3 = 0.

Passo 6

Para resolver 3x^2 - 10x + 3 = 0, aplicamos a fórmula de Bhaskara e achamos $ x = 10 pm raiz100 - 366 = 10 pm 86 x1 = 3íãx_1 = 3 x2 = tfrac13x_2 = \tfrac{1}{3}$.

Resposta

As raízes são 3 e \tfrac{1}{3}, obtidas quando k = -4.

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