Solucione as equações por completamento de quadrado.
(f) 6 y^2=19 y-15

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por completamento de quadrado, a equação
6y^2 = 19y - 15
A ideia é reescrever um trinômio quadrático na forma de um quadrado perfeito, para depois isolar y.

Passo 2

Primeiro, colocamos tudo num lado e deixamos o coeficiente de y^2 igual a 1:
6y^2 - 19y + 15 = 0
Dividindo ambos os lados por 6:
y^2 - 196,y + 52 = 0

Passo 3

Agora, completamos o quadrado no termo y^2 - 196y.
Metade de -tfrac196 é -tfrac1912 e o seu quadrado é l(tfrac1912r)^2=tfrac361144.
Então somamos e subtraímos tfrac361144:
y^2 - 196y + 361144 ;-;361144 + 52 = 0
Os três primeiros termos viram um quadrado perfeito:
l(y - tfrac1912r)^2 ;-;361144 + 52 = 0

Passo 4

Convertendo tfrac52 para denominação 144, temos tfrac52 = tfrac360144.
Logo
-361144 + 360144 = -1144,
e a equação fica
l(y - tfrac1912r)^2 - 1144 = 0 Longrightarrow l(y - tfrac1912r)^2 = 1144

Passo 5

Extraímos a raiz quadrada em ambos os lados e isolamos y:
y - 1912 = pm 112 Longrightarrow y = 1912 pm 112
Isso dá duas soluções:
y = 2012 = 53 ou y = 1812 = 32

Resposta

y = 53 ou y = 32

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