Resolva as seguintes equações por fatoração.
(j) 2 c-3 yy-c-y2 y-c=23

Passo 1

Vamos resolver a equação
2c - 3yy - c ;-; y2y - c ;=;23
O conteúdo aqui é resolução de equação fracionária: primeiro colocamos os termos sobre um denominador comum, depois fazemos a “cruzada” (multiplicamos em cima e em baixo) para obter um polinômio, e por fim resolvemos o polinômio por fatoração. Note que devemos exigir y neq c e 2y neq c para que os denominadores não sejam zero.

Passo 2

Colocamos a parte esquerda sobre o denominador comum (y - c)(2y - c):
(2c - 3y)(2y - c) ;-; y,(y - c)(y - c)(2y - c) =23
Agora expanda o numerador:
(2c - 3y)(2y - c) =4cy -2c^2 -6y^2 +3cy =7cy -6y^2 -2c^2,
y,(y - c)=y^2 -cy,
logo o numerador total é
7cy -6y^2 -2c^2 ;-;(y^2 -cy) =8cy -7y^2 -2c^2

Passo 3

A equação fica então
8cy -7y^2 -2c^2(y - c)(2y - c) = 23
Fazendo a “cruzada” (multiplicando em extremos e meios):
3l(8cy -7y^2 -2c^2r) =2,(y - c)(2y - c)

Passo 4

Expanda e junte tudo num só lado:
3(8cy -7y^2 -2c^2)=24cy -21y^2 -6c^2,
2(y - c)(2y - c) =2(2y^2 -3cy +c^2) =4y^2 -6cy +2c^2
Portanto
24cy -21y^2 -6c^2 ;-;(4y^2 -6cy +2c^2)=0 Longrightarrow -25y^2 +30cy -8c^2=0
Multiplicando por -1:
25y^2 -30cy +8c^2=0

Passo 5

Agora fatoramos o quadrático:
25y^2 -30cy +8c^2 =(5y -4c)(5y -2c)=0
Logo as soluções são
5y -4c=0Rightarrow y=4c5,
5y -2c=0Rightarrow y=2c5
Verificamos que ambas satisfazem yneq c e 2yneq c.

Resposta

y=4c5 ou y=2c5

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