Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-9(x+2)^2+4(y-3)^2=36

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole dada por
-9(x+2)^2 + 4(y-3)^2 = 36
Traremos o conteúdo de geometria analítica de hipérboles: forma padrão, centro, e equações das assíntotas.

Passo 2

Começamos transformando a equação na forma padrão de hipérbole. Dividindo tudo por 36:
-9(x+2)^236 + 4(y-3)^236 = 1

Passo 3

Simplificando cada fração:
-(x+2)^24 + (y-3)^29 = 1

Passo 4

Multiplicando por -1 para ficar no formato usual de hipérbole vertical:
(y-3)^29 - (x+2)^24 = 1

Passo 5

Agora identificamos o centro (h,k) = (-2,3). Como o termo com (y-3)^2 vem positivo, a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo vertical). Aqui a^2=9 (logo a=3) e b^2=4 (logo b=2).

Passo 6

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo de abertura:
V1 = (-2,3+3) = (-2,6), V2 = (-2,3-3) = (-2,0)

Passo 7

Para traçar as assíntotas de uma hipérbole no formato (y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1, usamos
y - k = pm ab(x - h)

Passo 8

Substituindo h=-2, k=3, a=3 e b=2:
y - 3 = pm 32(x + 2)

Passo 9

Para esboçar o gráfico, marcamos o centro (-2,3), traçamos as retas-guia das assíntotas y-3=pmtfrac32(x+2), desenhamos o retângulo de semi-eixos a=3 vertical e b=2 horizontal, e desenhamos os ramos da hipérbole que passam pelos vértices e são aproximados pelas assíntotas à medida que se afastam do centro.

Resposta

Centro em (-2,3); vértices em (-2,6) e (-2,0); assimptotas de equações y-3=±(3/2)(x+2); hipérbole com ramos abrindo para cima e para baixo, tangentes às assimptotas.

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