Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-(x-1)^24+(y+2)^29=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole dada por
-(x-1)^24+(y+2)^29=1
Isso faz parte de seções cônicas, mais especificamente de hipérboles. Para desenhar, vamos precisar encontrar o centro, os semi-eixos (a e b), os vértices e as retas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de hipérbole vertical. Basta multiplicar por -1 e trocar os termos de lugar:
(y+2)^29-(x-1)^24=1
Assim vemos que é uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 3

Da forma padrão identificamos o centro e os parâmetros:
  • Centro C=(1,-2).
  • a^2=9 então a=3.
  • b^2=4 então b=2.
    Os vértices ficam em (1,-2pm3), ou seja, (1,1) e (1,-5).

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole vertical centrada em (x0,y0) são dadas por
y-y0=pmab(x-x0)
Substituindo (x0,y0)=(1,-2), a=3 e b=2, temos
y+2=pm32(x-1)

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro (1,-2) no plano.
  2. Desenhe os vértices em (1,1) e (1,-5).
  3. Trace as retas assíntotas y+2=pmtfrac32(x-1).
  4. Desenhe as duas folhas da hipérbole abrindo-se para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.

Resposta

Centro: (1,-2); Vértices: (1,1) e (1,-5); Assíntotas: y+2=pmtfrac32(x-1).

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