Esboce os subconjuntos do plano:
B=(x, y) mid y^2-2 y <= x<4 y-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto
B=(x,y)mid y^2-2y <= x < 4y - y^2, ou seja, a região do plano entre duas parábolas em função de y. O conteúdo é análise de inequações envolvendo curvas e precisamos saber traçar cada borda e achar suas interseções.

Passo 2

Começamos identificando a fronteira esquerda dada por x = y^2 - 2y. Essa é uma parábola aberta para a direita. Reescrevendo:
x = y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1,
teve vértice em (-1,1) e abre para a direita.
A fronteira direita vem de x = 4y - y^2. Essa parábola abre para a esquerda. Reescrevendo:
x = -l(y^2 - 4yr) = 4 - (y-2)^2,
teve vértice em (4,2) e abre para a esquerda.

Passo 3

Para encontrar até onde essas parábolas se cruzam, igualamos suas expressões:
y^2 - 2y = 4y - y^2
2y^2 - 6y = 0 implies 2y(y - 3) = 0
Logo, y=0 ou y=3. Substituindo em qualquer das duas f
ormas de x, obtemos os pontos de interseção (0,0) e (3,3).
Isso indica que a região existe apenas para y entre 0 e 3. Para cada y nesse intervalo, x varia de y^2 - 2y até 4y - y^2.

Passo 4

O esboço final é uma “lente” no plano limitada à esquerda pela parábola x=(y-1)^2-1, à direita por x=4-(y-2)^2 e nos topos pelos pontos de interseção em y=0 e y=3.

Resposta

A região é o conjunto de pontos entre as parábolas
x = y² − 2y (aberta para a direita)
e
x = 4y − y² (aberta para a esquerda),
interseccionando-se em y = 0 e y = 3, formando uma “lente” para 0 ≤ y ≤ 3 e y² − 2y ≤ x < 4y − y².

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