Esboce os subconjuntos do plano:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
, ou seja, a região do plano entre duas parábolas em função de
. O conteúdo é análise de inequações envolvendo curvas e precisamos saber traçar cada borda e achar suas interseções.
Passo 2
Começamos identificando a fronteira esquerda dada por
. Essa é uma parábola aberta para a direita. Reescrevendo:
teve vértice em
e abre para a direita.
A fronteira direita vem de . Essa parábola abre para a esquerda. Reescrevendo:
A fronteira direita vem de
teve vértice em
e abre para a esquerda.
Passo 3
Para encontrar até onde essas parábolas se cruzam, igualamos suas expressões:
Logo,
ou
. Substituindo em qualquer das duas f
ormas de
, obtemos os pontos de interseção
e
.
Isso indica que a região existe apenas para entre
e
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Isso indica que a região existe apenas para
Passo 4
O esboço final é uma “lente” no plano limitada à esquerda pela parábola
, à direita por
e nos topos pelos pontos de interseção em
e
.
Resposta
A região é o conjunto de pontos entre as parábolas
x = y² − 2y (aberta para a direita)
e
x = 4y − y² (aberta para a esquerda),
interseccionando-se em y = 0 e y = 3, formando uma “lente” para 0 ≤ y ≤ 3 e y² − 2y ≤ x < 4y − y².
x = y² − 2y (aberta para a direita)
e
x = 4y − y² (aberta para a esquerda),
interseccionando-se em y = 0 e y = 3, formando uma “lente” para 0 ≤ y ≤ 3 e y² − 2y ≤ x < 4y − y².