17.5 Escreva a equação do círculo que passa pelos três pontos
e
.
SOLUÇÃO
A forma geral da equação de um círculo é
, de modo que devemos substituir os pontos dados na equação para obter um sistema de equações nas variáveis
e
.
Para
então
(1)
Para
então
(2)
Para
Eliminamos
de (1) e (2), e de (1) e (3) para obtermos então
(4)
(5)
.
Resolvemos o sistema formado por (4) e (5) e obtemos
e
. Substituindo em (1), obtemos
. A equação do círculo é
.
Para
(1)
Para
então
(2)
Para
(4)
(5)
Passo 1
Temos três pontos: (3,2), (−1,4) e (2,3) e queremos a equação do círculo que passa por eles. A forma geral da equação de um círculo no plano é
, então precisamos encontrar os coeficientes
.
Passo 2
Substituímos cada ponto na equação geral e simplificamos para obter três equações lineares em
:
Que se reduzem a:
Passo 3
Para eliminar
, subtraímos a segunda equação da primeira e a terceira da primeira, gerando um sistema 2×2 em
:
Passo 4
Resolvendo o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo em
dá
, logo
e
. Assim
.
Passo 5
Agora achamos
substituindo, por exemplo, em
:
Logo
e
. Portanto a equação do círculo é
Passo 6
Resposta
x^2 + y^2 + 2x + 2y - 23 = 0