17.5 Escreva a equação do círculo que passa pelos três pontos (3,2),(-1,4) e (2,3).

SOLUÇÃO

A forma geral da equação de um círculo é x^2+y^2+D x+E y+F=0, de modo que devemos substituir os pontos dados na equação para obter um sistema de equações nas variáveis D, E e F.
Para (3,2)
3^2+2^2+D(3)+E(2)+F=0
então
(1) 3 D+2 E+F=-13
Para (-1,4)
(-1)^2+4^2+D(-1)+E(4)+F=0
então
(2) -D+4 E+F=-17
Para (2,3) 2^2+3^2+D(2)+E(3)+F=0
2 D+3 E+F=-13
Eliminamos F de (1) e (2), e de (1) e (3) para obtermos então
(4) 4 D-2 E=4
(5) D-E=0.
Resolvemos o sistema formado por (4) e (5) e obtemos D=2 e E=2. Substituindo em (1), obtemos F=-23. A equação do círculo é x^2+y^2+2 x+2 y-23=0.

Passo 1

Temos três pontos: (3,2), (−1,4) e (2,3) e queremos a equação do círculo que passa por eles. A forma geral da equação de um círculo no plano é x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0, então precisamos encontrar os coeficientes D, E, F.

Passo 2

Substituímos cada ponto na equação geral e simplificamos para obter três equações lineares em D, E, F:
3^2 + 2^2 + 3D + 2E + F = 0
(-1)^2 + 4^2 - D + 4E + F = 0
2^2 + 3^2 + 2D + 3E + F = 0
Que se reduzem a:
3D + 2E + F = -13
- D + 4E + F = -17
2D + 3E + F = -13

Passo 3

Para eliminar F, subtraímos a segunda equação da primeira e a terceira da primeira, gerando um sistema 2×2 em D, E:
(3D+2E+F) - (-D+4E+F) = -13 - (-17)
4D - 2E = 4
(3D+2E+F) - (2D+3E+F) = -13 - (-13)
D - E = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
4D - 2E = 4, D - E = 0
Da segunda equação vem D = E. Substituindo em 4D - 2E = 4 4D - 2D = 4, logo 2D = 4 e D = 2. Assim E = 2.

Passo 5

Agora achamos F substituindo, por exemplo, em 3D + 2E + F = -13:
3cdot2 + 2cdot2 + F = -13
Logo 6 + 4 + F = -13 e F = -23. Portanto a equação do círculo é

Passo 6

x^2 + y^2 + 2x + 2y - 23 = 0

Resposta

x^2 + y^2 + 2x + 2y - 23 = 0

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