Escreva a equação polinomial de menor grau com coeficientes racionais que tem para uma das raízes
raiz3-raiz2

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de coeficientes racionais de menor grau que tenha como raiz alpha = raiz3 - raiz2. O conteúdo envolve extensões de corpos e eliminação de radicais, usando duas vezes a operação de elevar ao quadrado.

Passo 2

Definimos x = alpha = raiz3 - raiz2. Então podemos escrever raiz3 = x + raiz2. Para eliminar raiz3 fazemos o quadrado:
(x + raiz2)^2 = 3
Expandindo e isolando o termo com raiz2:
x^2 + 2raiz2,x + 2 = 3 Longrightarrow 2raiz2,x = 1 - x^2

Passo 3

Agora isolamos raiz2 e elevamos ao quadrado de novo para eliminar o radical restante:
raiz2 = 1 - x^22x , ,
e então
(1 - x^22x)^2 = 2
Multiplicando ambos os lados por 4x^2 e simplificando, obtemos:
(1 - x^2)^2 = 8x^2
1 - 2x^2 + x^4 = 8x^2
Reagrupando todos os termos em um lado:
x^4 -10x^2 + 1 = 0

Passo 4

Este é um polinômio monico de grau 4 com coeficientes racionais que anula raiz3-raiz2. Não há polinômio de grau menor sobre Q que contenha essa raiz, pois o grau da extensão é 4.

Resposta

x^4 - 10x^2 + 1 = 0

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