Escreva a equação polinomial de menor grau com coeficientes racionais que tem para uma das raízes
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de coeficientes racionais de menor grau que tenha como raiz
. O conteúdo envolve extensões de corpos e eliminação de radicais, usando duas vezes a operação de elevar ao quadrado.
Passo 2
Definimos
. Então podemos escrever
. Para eliminar
fazemos o quadrado:
Expandindo e isolando o termo com
:
Passo 3
Agora isolamos
e elevamos ao quadrado de novo para eliminar o radical restante:
e então
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando, obtemos:
Reagrupando todos os termos em um lado:
Passo 4
Este é um polinômio monico de grau 4 com coeficientes racionais que anula
. Não há polinômio de grau menor sobre
que contenha essa raiz, pois o grau da extensão é 4.