20.32 Resolva a equação polinomial .

SOLUÇÃO

Se é uma raiz racional, os únicos valores possíveis para são , e os únicos valores possíveis para são . Portanto, as possibilidades para raízes racionais são .
Testando estes valores para por divisão sintética, descobrimos que 3 é uma raiz.
2 -3 -7 -8 6
3 2 3 2 -2 0
A primeira equação derivada é testada, e obtemos para raiz.
2 3 2 -2
2 4 4 0
A segunda equação derivada , ou , tem as raízes complexas . As quatro raizes são .

Passo 1

Estamos resolvendo a equação polinomial
2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 8x + 6 = 0
Para isso, vamos usar o teorema das raízes racionais, divisão sintética e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Pelo teorema das raízes racionais, possíveis raízes são da forma p/q, onde p divide o termo constante pm6 e q divide o coeficiente líder 2. Logo, as opções são
pm1, pm2, pm3, pm6, pmtfrac12, pmtfrac32.

Passo 3

Testamos x = 3 por divisão sintética: levamos os coeficientes 2, -3, -7, -8, 6 e fazemos
  • Traga 2;
  • 2times3 = 6, soma com -3 3;
  • 3times3 = 9, soma com -7 2;
  • 2times3 = 6, soma com -8 -2;
  • (-2)times3 = -6, soma com 6 0.
    O resto zero confirma que 3 é raiz e o quociente é o polinômio 2x^3 + 3x^2 + 2x - 2.

Passo 4

No polinômio cúbico 2x^3 + 3x^2 + 2x - 2, testamos x = tfrac12 da mesma forma:
  • Traga 2;
  • 2timestfrac12 = 1, soma com 3 4;
  • 4timestfrac12 = 2, soma com 2 4;
  • 4timestfrac12 = 2, soma com -2 0.
    O resto zero mostra que tfrac12 é raiz e o quociente é 2x^2 + 4x + 4.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
2x^2 + 4x + 4 = 0
Dividindo por 2, obtemos
x^2 + 2x + 2 = 0
O discriminante é De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = -4, e portanto
x = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 6

Reunindo todas as raízes, concluímos que
x = 3, ; x = tfrac12, ; x = -1 + i, ; x = -1 - i .

Resposta

As raízes da equação são 3, tfrac12, -1 + i e -1 - i.

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