20.32 Resolva a equação polinomial
.
SOLUÇÃO
Se
é uma raiz racional, os únicos valores possíveis para
são
, e os únicos valores possíveis para
são
. Portanto, as possibilidades para raízes racionais são
.
Testando estes valores para
por divisão sintética, descobrimos que 3 é uma raiz.
2
-3
-7
-8
6
3
2
3
2
-2
0
A primeira equação derivada
é testada, e obtemos
para raiz.
2
3
2
-2
2
4
4
0
A segunda equação derivada
, ou
, tem as raízes complexas
. As quatro raizes são
.
Testando estes valores para
| 2 | -3 | -7 | -8 | 6 | |
| 3 | 2 | 3 | 2 | -2 | 0 |
| 2 | 3 | 2 | -2 | |
|
|
2 | 4 | 4 | 0 |
Passo 1
Estamos resolvendo a equação polinomial
Para isso, vamos usar o teorema das raízes racionais, divisão sintética e resolução de equação quadrática.
Passo 2
Pelo teorema das raízes racionais, possíveis raízes são da forma
, onde
divide o termo constante
e
divide o coeficiente líder
. Logo, as opções são
.
Passo 3
Testamos
por divisão sintética: levamos os coeficientes
e fazemos
- Traga
; -
, soma com dá ; -
, soma com dá ; -
, soma com dá ; -
, soma com dá .
O resto zero confirma queé raiz e o quociente é o polinômio .
Passo 4
No polinômio cúbico
, testamos
da mesma forma:
- Traga
; -
, soma com dá ; -
, soma com dá ; -
, soma com dá .
O resto zero mostra queé raiz e o quociente é .
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
Dividindo por 2, obtemos
O discriminante é
, e portanto
Passo 6
Reunindo todas as raízes, concluímos que
.
Resposta
As raízes da equação são
,
,
e
.