Escreva uma equação que tenha apenas as seguintes raízes:
;
Passo 1
O enunciado pede uma equação cujo conjunto exato de raízes é {–2, 2, 2+√3, 2–√3}. Vamos usar o fato de que, se α é raiz de um polinômio, então (x–α) é um fator.
Passo 2
Como temos as raízes ±2, montamos o fator correspondente:
(x–2)(x+2)
Expandindo esse produto obtemos:
(x–2)(x+2)=x^2–4
(x–2)(x+2)
Expandindo esse produto obtemos:
(x–2)(x+2)=x^2–4
Passo 3
Agora, para as raízes 2±√3, montamos o fator quadrático conjugado:
(x–(2+√3))(x–(2–√3))
Que é uma diferença de quadrados na parte interna, resultando em:
(x–2)2–(√3)2=x2–4x+4–3=x2–4x+1
(x–(2+√3))(x–(2–√3))
Que é uma diferença de quadrados na parte interna, resultando em:
(x–2)2–(√3)2=x2–4x+4–3=x2–4x+1
Passo 4
Para ter todas as raízes juntas, multiplicamos os dois quadráticos:
(x2–4)(x2–4x+1)
Realizando a multiplicação:
(x2–4)(x2–4x+1)=x4–4x3+x2–4x2+16x–4=x4–4x3–3x^2+16x–4
(x2–4)(x2–4x+1)
Realizando a multiplicação:
(x2–4)(x2–4x+1)=x4–4x3+x2–4x2+16x–4=x4–4x3–3x^2+16x–4