20.33 Prove que
é um número irracional.
SOLUÇÃO
Seja
; então
e
.
Elevando ao quadrado novamente,
ou
. As únicas raízes racionais possiveis desta equação são
. Testando estes valores, descobrimos que não existem raízes racionais. Portanto.
é irracional.
Elevando ao quadrado novamente,
Passo 1
Estamos querendo provar que
não pode ser expresso como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. Para isso, vamos usar manipulações algébricas e o teste da raiz racional em um polinômio com coeficientes inteiros.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, elevamos ao quadrado para eliminar as raízes separadamente e ver emergir uma expressão com
. Temos:
Passo 3
Em seguida, isolamos a parte que ainda tem raiz:
Passo 4
Elevamos de novo ao quadrado para eliminar completamente a raiz e obter um polinômio em
:
Passo 5
Agora temos um polinômio monico com coeficientes inteiros que tem
como raiz. Pelo teste da raiz racional, qualquer raiz racional
(em forma irreduzível) deve satisfazer que
divide o termo independente (
) e
divide o coeficiente líder (
). Logo, as únicas candidatas são
.
Passo 6
Basta verificar que nem
nem
satisfazem
:
Passo 7
Como não existem raízes racionais, concluímos que
não pode ser racional.