20.33 Prove que raiz3+raiz2 é um número irracional.

SOLUÇÃO

Seja x=raiz3+raiz2; então x^2=(raiz3+raiz2)^2=3+2 raiz6+2=5+2 raiz6 e x^2-5=2 raiz6.
Elevando ao quadrado novamente, x^4-10 x^2+25=24 ou x^4-10 x^2+1=0. As únicas raízes racionais possiveis desta equação são pm 1. Testando estes valores, descobrimos que não existem raízes racionais. Portanto. x=raiz3+raiz2 é irracional.

Passo 1

Estamos querendo provar que raiz3+raiz2 não pode ser expresso como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. Para isso, vamos usar manipulações algébricas e o teste da raiz racional em um polinômio com coeficientes inteiros.

Passo 2

Definimos x = raiz3+raiz2. Primeiro, elevamos ao quadrado para eliminar as raízes separadamente e ver emergir uma expressão com raiz6. Temos:
x^2 = (raiz3 + raiz2)^2 = 3 + 2raiz6 + 2 = 5 + 2raiz6

Passo 3

Em seguida, isolamos a parte que ainda tem raiz:
x^2 - 5 = 2raiz6

Passo 4

Elevamos de novo ao quadrado para eliminar completamente a raiz e obter um polinômio em x:
(x^2 - 5)^2 = (2raiz6)^2 x^4 - 10x^2 + 25 = 24 x^4 - 10x^2 + 1 = 0

Passo 5

Agora temos um polinômio monico com coeficientes inteiros que tem x como raiz. Pelo teste da raiz racional, qualquer raiz racional p/q (em forma irreduzível) deve satisfazer que p divide o termo independente ( 1) e q divide o coeficiente líder ( 1). Logo, as únicas candidatas são pm1.

Passo 6

Basta verificar que nem x=1 nem x=-1 satisfazem x^4-10x^2+1=0:
1^4-10cdot1^2+1 = 1 -10 +1 = -8 neq 0, (-1)^4-10cdot(-1)^2+1 = 1 -10 +1 = -8 neq 0

Passo 7

Como não existem raízes racionais, concluímos que x=raiz3+raiz2 não pode ser racional.

Resposta

raiz3+raiz2 é irracional.

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