Escreva o vetor (1,2) como uma combinação linear dos vetores (-2,3) e (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (1,2) como combinação linear dos vetores (-2,3) e (1,-1).
O conteúdo aqui é combinação linear em \mathbb{R}^2:
vamos buscar escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,(-2,3)+\beta\,(1,-1) = (1,2).

Passo 2

Escrevendo a combinação componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -2\alpha + \beta = 1,\\\\ 3\alpha - \beta = 2. \end{cases}

Passo 3

Para eliminar \beta, somamos as duas equações:
(-2\alpha + \beta) + (3\alpha - \beta) = 1 + 2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 3.
Substituindo em -2\alpha + \beta = 1:
-2\cdot 3 + \beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 7.

Resposta

(1,2) = 3\,(-2,3) \;+\; 7\,(1,-1).

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