Prove que todo operador auto-adjunto é soma de operadores auto-adjuntos de posto 1, os quais podem ser tomados não-negativos se A for não-negativo. [Sugestão: Teorema Espectral.]

Passo 1

O enunciado pede para provar que todo operador auto-adjunto A em um espaço de dimensão finita pode ser escrito como soma de operadores auto-adjuntos de posto 1 e, além disso, que esses termos podem ser tomados não-negativos se A for não-negativo. Vamos usar o Teorema Espectral para isso.

Passo 2

Pelo Teorema Espectral, se A é auto-adjunto então existe uma base ortonormal eii=1^n de vetores próprios de A, com valores próprios reais lambdai. Ou seja, para todo v temos:
A(v) =sumi=1^n lambdai,lang<= v, eirang<=,ei

Passo 3

Definimos para cada índice i o operador Pi de posto 1 por
Pi(v)=lang<= v, eirang<=,ei

Passo 4

Cada é auto-adjunto (é projeção ortogonal em ) e tem posto 1. Assim, reunindo tudo,
$$
A=
\sum_{i=1}^n \lambda_i,P_i,
é um operador auto-adjunto não-negativo.

Resposta

A decomposição é
A=sumi=1^n lambdai,Pi,
onde cada Pi(v)=lang<= v,eirang<= ei é auto-adjunto de posto 1 e, se A≥0, então todos lambdai>=0, tornando cada lambdaiPi não-negativo.

Exercícios de Livros Relacionados