Prove que todo operador auto-adjunto é soma de operadores auto-adjuntos de posto 1, os quais podem ser tomados não-negativos se
for não-negativo. [Sugestão: Teorema Espectral.]
Passo 1
O enunciado pede para provar que todo operador auto-adjunto A em um espaço de dimensão finita pode ser escrito como soma de operadores auto-adjuntos de posto 1 e, além disso, que esses termos podem ser tomados não-negativos se A for não-negativo. Vamos usar o Teorema Espectral para isso.
Passo 2
Pelo Teorema Espectral, se A é auto-adjunto então existe uma base ortonormal
de vetores próprios de A, com valores próprios reais
. Ou seja, para todo
temos:
Passo 3
Definimos para cada índice
o operador
de posto 1 por
Passo 4
Cada
é auto-adjunto (é projeção ortogonal em
) e tem posto 1. Assim, reunindo tudo,
$$
A=
\sum_{i=1}^n \lambda_i,P_i,
é um operador auto-adjunto não-negativo.
A=
\sum_{i=1}^n \lambda_i,P_i,
é um operador auto-adjunto não-negativo.
Resposta
A decomposição é
onde cada
é auto-adjunto de posto 1 e, se A≥0, então todos
, tornando cada
não-negativo.